두 개의 파레토 분포를 추가 한 분포

형식의 두 개 이상의 유형 1 파레토 분포를 추가하여 어떤 분포가 생성되는지 궁금합니다 . 실험적으로, 그것은 알파의 차이에 대해 점근 적으로 보이는 2 가지 모드의 법칙처럼 보인다. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
소스

마지막 말은 분포에 따라 다른 알파를 생각하는 것처럼 들립니다. 배포판의 도메인 (일명 "스케일")을 고치겠습니까? 빠른 Mathematica 계산에 따르면 PDF에는 의 곱 과 에서 베타 분포의 차이가 포함됩니다. 와 의 베타 분포 . 단봉입니다 . 이 결과는 더 큰 및 대해 유지되지 않으므로 관심있는 매개 변수의 가능한 값에 제한이 있습니까?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— 우버

다음 문서는 CDF의 확장과이를 근사하는 방법을 제안합니다. docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

좀 더 읽기 쉽게 편집했습니다. 분포는 컨볼 루션에 의해 추가됩니다. 파레토 분포 현명한 정의 조각 에 대한 및 0 . 두 파레토 함수 및 의 컨볼 루션 은 다음과 같습니다. $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

여기서 및 대해 0 는 해당 용어 내의 복잡한 필드이지만 실제 값은 그 외부에 있습니다. 는 여기서 Mathematica 코드에서 Hypergeometric2F1로 정규화 됩니다 . 매개 변수에 대한 모든 선택이 양수 값 밀도 함수를 생성하지는 않습니다. 다음은 긍정적일 때의 예입니다. 두 파레토 분포의 경우 a = 2, b = 3, j = 0.1 및 k = 0.3이라고합시다. 이들의 플롯은 {k, a} 함수의 경우 파란색이고 {j, b} 함수의 경우 주황색입니다. 그들의 컨볼 루션은 그래픽 으로 꼬리를 검사 할 때 그린이 컨볼 루션 인 곳 처럼 보입니다 . $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

당신의 질문에서, 당신은 두 개의 파레토 분포의 일반적인 추가에 대해 물을 것입니다. 이 경우 곡선 아래 면적이 2이므로 합은 밀도 함수가 아니므로 1 곡선 아래 면적이 필요합니다. 그러나 이것이 질문이라면 , 대한 은 다음과 같이 단순화됩니다. , 경우에만 의 제한이 있으며 다른 모든 경우에는 0 또는 무한대입니다. 즉, 두 파레토 분포의 산술 합은 차이이다 꼬리 갖는다 및 $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ 산술 합은 밀도 함수가 아니며, 합은 밀도 함수가되기 위해 두 개의 확률 에 대해 스케일 되어야합니다. 다른 밀도 함수를 정의하기 위해 밀도 함수의 산술 추가가 발생하지만 일반적이지 않습니다. 이것의 한 예는 약동학에서 발생하는데, 여기서 두 개 이상의 지수 분포의 합은 밀도 함수를 정의하는 데 사용됩니다. 긴 이야기를 짧게 만드는 것은 내가 추천하는 것이 아닙니다. $1=p+q$

희망적으로 이것은 귀하의 질문에 대답합니다. 그렇지 않은 경우 답변에 이의를 제기하거나 정보를 추가하십시오.

— 칼
소스

@gung 정리해 주셔서 감사합니다. 이를 위해 에티켓이 필요한가요? 정리에 대한 명성을 얻었습니까, 아니면 단지 의지가 있습니까?

— Carl

천만에요, @Carl. 평판이 <2k (?)이면 편집을 제안하고 승인되면 +2가됩니다. 그 후에 편집은 아무것도 얻지 못합니다. 담당자가 필요하지 않으므로 문제 없습니다. 여기에 귀하의 답변이 좋습니다 (+1), 조금 더 읽기 쉽도록 편집했습니다.

— gung-복원 Monica Monica