log (y)를 모델링 할 때 역변환 회귀 결과

에 회귀를 맞추고 있습니다. 지수로 변환점 추정값 (및 신뢰 / 예측 간격)을 역행시키는 것이 유효합니까? 이후로 믿지 않지만 다른 사람의 의견을 원했습니다.$\log(y)$$E[f(X)] \ne f(E[X])$

아래의 예는 역변환과의 충돌을 보여줍니다 (.239 대 .219).

set.seed(123)

a=-5
b=2

x=runif(100,0,1)
y=exp(a*x+b+rnorm(100,0,.2))
# plot(x,y)

### NLS Fit
f <- function(x,a,b) {exp(a*x+b)} 
fit <- nls(y ~ exp(a*x+b),  start = c(a=-10, b=15)) 
co=coef(fit)
# curve(f(x=x, a=co[1], b=co[2]), add = TRUE,col=2,lwd=1.2) 
predict(fit,newdata=data.frame(x=.7))
[1] 0.2393773

### LM Fit
# plot(x,log(y))
# abline(lm(log(y)~x),col=2)
fit=lm(log(y)~x)
temp=predict(fit,newdata=data.frame(x=.7),interval='prediction')
exp(temp)
        fit       lwr       upr
1 0.2199471 0.1492762 0.3240752

그것은 당신이 다른 쪽 끝에 얻고 싶은 것에 달려 있습니다.

변환 된 매개 변수의 신뢰 구간은 잘 변환됩니다. 로그 스케일에 공칭 적용 범위가있는 경우 변환의 단일성으로 인해 원래 스케일에서 동일한 적용 범위를 다시 갖게됩니다.

미래의 관측을위한 예측 구간도 잘 변환됩니다.

로그 척도의 평균 간격은 일반적으로 원래 척도의 평균 간격이 아닙니다.

그러나 때로는 로그 스케일의 모형에서 원래 스케일의 평균에 대한 정확한 추정치를 정확하게 또는 대략적으로 산출 할 수 있습니다.

그러나주의가 필요하거나 다소 놀라운 특성을 갖는 추정치가 생성 될 수 있습니다 (예를 들어, 자신이 모집단 평균을 갖지 않는 추정치를 생성 할 수 있습니다. 이는 모두가 좋은 생각은 아닙니다).

예를 들어, 로그 정규 사례의 경우 지수를 다시 계산하면 추정치 가되고 모집단 평균이 임을 알 수 있습니다. 이므로 추정치에 따라 를 향상시키는 것으로 생각할 수 있습니다 .$\exp(\mu_i)$$\exp(\mu_i+\frac{1}{2}\sigma^2)$$\exp(\hat{\mu_i})$$\exp(\frac{1}{2}\sigma^2)$

조정을 일관되게 추정 할 수있는 한, Slutsky의 정리 (특히 제품 형태)를 통해 적어도 일관된 추정과 실제로는 일부 분포 무증상을 얻을 수 있어야합니다 . 연속 매핑 정리는 일관되게 추정 할 수 있다면 가능하다고 말합니다 .$\sigma^2$

그래서만큼 일관성 추정기이다 다음 는 의 분포로 분포에 수렴합니다. 검사를 통해 로그 정규 분포 ). 이후 에 대한 일관성이 될 것입니다 , BU 연속 매핑 정리, 에 대한 일관성이 될 것입니다 우리의 일관된 추정을 가지고, 그래서 원래 규모로 평균.$\hat{\sigma}^2$$\sigma^2$$\exp(\hat{\mu_i})\cdot \exp(\frac{1}{2}\hat{\sigma}^2)$$\exp(\hat{\mu_i})\cdot \exp(\frac{1}{2}\sigma^2)$$\hat{\mu_i}$$\mu_i$$\exp(\hat{\mu_i})$$\exp(\mu_i)$

여기를 참조 하십시오 .

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