분산의 샘플링 분포가 카이 제곱 분포 인 이유는 무엇입니까?

진술

표본 분산의 표본 분포는 자유도가 $n-1$ 인 카이 제곱 분포입니다 . 여기서 $n$ 은 표본 크기입니다 (관심있는 임의의 변수가 정규 분포를 따르는 경우).

출처

내 직감

1) 카이 제곱 테스트는 제곱합처럼 보이기 때문에 2) 카이 제곱 분포는 제곱 정규 분포의 합이기 때문에 다소 직관적입니다. 그러나 여전히, 나는 그것을 잘 이해하지 못합니다.

의문

진술이 사실입니까? 왜?

— 레미
소스

초기 진술은 일반적으로 거짓입니다 (두 가지 이유로 거짓입니다). 출처는 무엇입니까 (링크가 누락 됨) 실제로는 무엇을 말합니까?

— Glen_b-복지 주 모니카

내 질문은 또한 액세스가 보호되는 입문 통계 클래스의 질문에 대한 반응에 관한 것입니다. 문제는 "파리에서 날개 길이의 분산의 표본 분포는 어떤 분포입니까?"입니다. 답은 "Chi-squared distribution"입니다.

— Remi.b

첫 번째 의견의 인용문은 여전히 일반적으로 허위입니다. 소스의 끝에있는 주석은 (필요한 가정과 함께) 참입니다 : " 크기 n의 표본이 분산이 인 정규 분포 에서 추출 될 때 의 표본 분포 는 n-1 자유도를 가진 카이-제곱 분포입니다. $\sigma^2$ $(n-1)s^2/\sigma^2$ "... 두 번째 주석의 질문에 대한 대답도 거짓입니다. 누군가 날개 길이가 정상적으로 분포되어 있다고 생각하지 않는 한. (이것이 사실이라고 주장하기 위해 어떤 근거가있을 수 있습니까?)

— Glen_b-복지국 Monica

날개가 정규 분포를 따른다고 가정하면

의 샘플링 분포는 카이 제곱 분포가됩니다. 왜 그래야만하지?

(n - 1) s^{2} / σ^{2}

$(n-1)s^2/\sigma^2$

— Remi.b

iid N (0,1) 랜덤 변수의 제곱의 합이

df 와 카이 제곱 이라는 것을 알고 있습니까? 아니면 당신이 증명하려는 부분입니까?

k

$k$

k

$k$

— Glen_b-복지 주 모니카

[질문의 토론에서 가 독립적으로 동일하게 분포 된 랜덤 변수라면 .] $Z_i, i=1,2,\ldots,k$ $N(0,1)$ $\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

공식적으로 필요한 결과는 Cochran의 정리 에서 따릅니다 . (다른 방법으로 표시 될 수 있지만)

덜 공식적으로, 우리는 인구의 평균을 알고 있었고, (오히려 표본 평균에 대한보다) 그것에 대해 분산을 추정하면 것을 고려하십시오 , $s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , () $s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$ $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ 곱하기 랜덤 변수. $\frac{1}{n}$ $\chi^2_n$

모집단 평균 ( ) 대신 표본 평균이 사용된다는 사실 은 편차의 제곱합을 더 작게 만들지 만 과 같은 방식으로 $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$ $ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ $(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

@Glen_b이 사실에 대한 다른 증거에 대한 참조를 줄 수 있습니까? 정말 알고 싶어요.

— Henry.L

증명 한 후에 몇 가지 사실이 있습니까?

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b Cochran-Madow Theorem 외에 표본 분산과 표본 평균이 통계적으로 카이 제곱 분포와 독립적이라는 사실을 입증하는 유일한 두 가지 방법은 다음과 같습니다. (또는 mgfs도 이에 해당합니다). 더 많은 방법을 알고 있다면 정말로 알고 싶습니다.

— Henry.L

추가하고 싶은 한 가지 의견은 표본 평균이 모두 사용된다는 것입니다. 그러나 때때로 우리는 고정 분산과는 독립적으로 고정 된 힘을 원합니다.이 방법은 Stein의 2 단계 방법 (1949)으로 대체되었습니다.

— Henry.L

이 답변에 대해 얻지 못한 것은

\bar{X}

$\bar X$ 모든 독립적이 아닙니다

X_{i}^{'} s

$X_i's$ 그렇다면 어떻게 코크란의 정리를 적용 할 수 있습니까? 그들은 모두 독립적이어야한다고 말합니다.

— user56834