한계 효과의 표준 오차에 델타 방법을 사용하는 방법은 무엇입니까?

교호 작용 항을 포함하는 회귀 모형의 평균 한계 효과의 표준 오차를 근사화하기위한 델타 방법을 더 잘 이해하고 싶습니다. 델타 방법 에서 관련 질문을 살펴 보았지만 원하는 것을 찾지 못했습니다.

동기 부여 예제로 다음 예제 데이터를 고려하십시오.

set.seed(1)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rbinom(100,1,.5)
y <- x1 + x2 + x1*x2 + rnorm(100)
m <- lm(y ~ x1*x2)

x1및 의 평균 한계 효과 (AME)에 관심이 x2있습니다. 이를 계산하기 위해 간단히 다음을 수행합니다.

cf <- summary(m)$coef
me_x1 <- cf['x1',1] + cf['x1:x2',1]*x2 # MEs of x1 given x2
me_x2 <- cf['x2',1] + cf['x1:x2',1]*x1 # MEs of x2 given x1
mean(me_x1) # AME of x1
mean(me_x2) # AME of x2

그러나 델타 방법을 사용하여 이러한 AME의 표준 오차를 어떻게 계산합니까?

이 특정 상호 작용에 대한 SE를 손으로 계산할 수 있습니다.

v <- vcov(m)
sqrt(v['x1','x1'] + (mean(x2)^2)*v['x1:x2','x1:x2'] + 2*mean(x2)*v['x1','x1:x2'])

그러나 델타 방법을 사용하는 방법을 이해하지 못합니다.

이상적으로는 임의의 회귀 모델의 AME에 대한 델타 방법을 생각하고 코딩하는 방법에 대한 지침을 찾고 있습니다. 예를 들어, 이 질문 은 특정 교호 작용 효과에 대한 SE 공식을 제공 하고 Matt Golder의이 문서 는 다양한 대화식 모델에 대한 공식을 제공하지만, 특정 AME의 SE.

델타 방법은 보조 변수를 표현할 수 있다면 정규 분포 확률 변수의 함수로 표현할 수 있다고 말합니다. 보조 변수는 보조 변수가 정규 변수와 관련하여 보조가 얼마나 많이 변하는 지에 따라 대략적으로 분산됩니다. Alecos Papadopoulos에 의해 지적 된 바와 같이, 델타 방법은 점근 적 정상 성을 요구하지 않도록보다 일반적으로 언급 될 수있다). 이것을 생각하는 가장 쉬운 방법은 함수의 첫 번째 항이 평균이고 분산은 두 번째 차수 항에서 오는 Taylor 확장입니다. 특히, 가 모수 β 의 함수 이고 b 가 해당 모수에 대해 일관되고 정규 분포 된 추정량 인 경우 : g $g$$\beta$$b$ 때문에 β는 상수이고, b를 위한 일관된 추정기 인 β , 우리는 다음 말할 수

$$g(b) \approx g(\beta) + \nabla g(\beta)^\prime (b - \beta)$$ $\beta$$b$$\beta$ 이 경우 b 는 OLS 추정치이고 g 는 AME입니다. 이 특정 AME를 다음과 같이 쓸 수 있습니다 : g ( b 1 , b 2 ) = b 1 + b 2  평균 ( x 2 ) 2 ) : $$\sqrt{n}\left(g(b)-g(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla g(\beta)^\prime \cdot \Sigma_b \cdot \nabla g(\beta)\right)$$ $b$$g$ $$g(b_1,b_2)=b_1+b_2 \text{ mean}(x_2)$$ 이 함수의 기울기 (기억의 함수했다 경우 계수를 아닌 $x_2$ 및 분산 공분산 행렬 B는 결과 : [ (S) 11 개 (S) 12 (S) 12 개 $$[1,\,\, \text{mean}(x_2)]^\prime$$ $b$ $$\left[ \begin{matrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{12} & s_{22} \end{matrix}\right]$$ 이것을 분산 수식에 연결하고 일부 행렬 대수를 수행하면 원하는식이됩니다.

일반적으로이 작업을 수행하려는 경우 g를 명시 적으로 코딩 할 수 있습니다.$g$ 를 R모든 계수의 함수 로 한 다음 함수에 대한 함수의 numDeriv숫자 기울기 (그렇지 않으면 컴퓨터 대수를 사용해야 함)를 사용하는 데 사용할 수 있습니다 추정 한 매개 변수에서 그런 다음 단순히 분산-공분산 행렬과이 숫자 형 그래디언트를 취하여 수식과 짜잔에 꽂습니다! 델타 방법.

부록 :이 특정한 경우 R 코드는 다음과 같습니다.

v <- vcov(m)

# Define function of coefficients. Note all coefficients are included so it 
# will match dimensions of regression coefficients, this could be done more 
# elegantly in principle
g <- function(b){
    return(b[2] + b[4] * mean(x2))
}

require(numDeriv) # Load numerical derivative package

grad_g <-  jacobian(g, m$coef) # Jacobian gives dimensions, otherwise same as
                               # gradient 

sqrt(grad_g%*% v %*% t(grad_g)) # Should be exactly the same 

정확한 그래디언트는 계산 오류가 적으므로이 문제에 대한 숫자 그래디언트 대신 항상 정확한 그래디언트를 얻는 것이 좋습니다. 그 사실은 $g$ 가 선형 은이 문제를 제거하고 더 복잡한 기능의 경우 정확한 기울기가 항상 사용 가능한 것은 아닙니다.