정규 분포:
알려진 분산으로 정규 분포를 취하십시오. 일반성을 잃지 않고이 분산을 1로 할 수 있습니다 (각 관측 값을 분산의 제곱근으로 나눔). 여기에는 샘플링 분포가 있습니다.
p(X1...XN|μ)=(2π)−N2exp(−12∑i=1N(Xi−μ)2)=Aexp(−N2(X¯¯¯¯−μ)2)
어디 는 데이터에만 의존하는 상수입니다. 이는 표본 평균이 모집단 평균에 대한 충분한 통계량임을 나타냅니다. 우리가 이전에 균일을 사용한다면 μ에 대한 사후 분포는 다음과같습니다.Aμ
(μ|X1...XN)∼Normal(X¯¯¯¯,1N)⟹(N−−√(μ−X¯¯¯¯)|X1...XN)∼Normal(0,1)
따라서 신뢰할 수있는 간격은 다음과 같은 형식입니다.1 - α
( X¯¯¯¯+ 1엔−−√엘α, X¯¯¯¯+ 1엔−−√유α)
여기서 및 U α 표준 정규 확률 변수되도록 선택된다 Z를 만족한다 :엘α유α지
피r ( Lα< Z< Uα) = 1 − α
이제 신뢰 구간을 구성하기 위해이 "피벗 수량"부터 시작할 수 있습니다. √ 의 샘플링 분포고정μ에대한 N (μ− ¯ X )은 표준 정규 분포이므로 위의 확률로 이것을 대체 할 수 있습니다.엔−−√( μ − X¯¯¯¯)μ
피r ( Lα< N−−√( μ − X¯¯¯¯) < Uα) = 1 − α
그런 다음 를 풀도록 재정렬 하면 신뢰 구간은 신뢰할 수있는 구간과 같습니다.μ
스케일 파라미터 :
스케일 파라미터의 경우, pdf는 . 우리는(Xi|s)~Uniform(0,s)를 취할 수있는데, 이는f(t)=1에 해당합니다. 공동 샘플링 분포는 다음과 같습니다.p ( X나는| s)= 1에스에프( X나는에스)( X나는| S)~Un 나는 fo r m ( 0 , s )에프( t ) = 1
p ( X1. . . 엑스엔| S)= (S)− N0 < X1. . . 엑스엔< s
여기서 우리는 충분한 통계량을 (관측치의 최대치)와 동일하게 찾습니다 . 이제 샘플링 분포를 찾습니다.엑스해요 X를
피r ( X해요 X를< y| s)=Pr ( X1< y, X2< y. . . 엑스엔< y| s)= ( y에스)엔
이제 를 사용하여이를 매개 변수와 독립적으로 만들 수 있습니다 . 우리 "피봇 수량이 '주어진다이 수단 Q = 이야 - 1 X가 있어요 X 와 P의 R ( Q < Q를 ) = Q N 은 IS하는 B 형 전자 t ( N , 1 ) 분포. 따라서 베타 수량을 사용하여 L α , U α 를 선택할 수 있습니다 .와이= q에스Q = s− 1엑스해요 X를피r ( Q < q) = q엔beta(N,1)Lα,Uα
Pr(Lα<Q<Uα)=1−α=UNα−LNα
그리고 우리는 중추적 인 수량을 대체합니다.
Pr(Lα<s−1Xmax<Uα)=1−α=Pr(XmaxL−1α>s>XmaxU−1α)
그리고 우리의 신뢰 구간이 있습니다. jeffreys를 사용한 베이지안 솔루션에는 다음이 있습니다.
p(s|X1...XN)=s−N−1∫∞Xmaxr−N−1dr=N(Xmax)Ns−N−1
⟹Pr(s>t|X1...XN)=N(Xmax)N∫∞ts−N−1ds=(Xmaxt)N
이제 신뢰 구간을 연결하고 신뢰도를 계산합니다.
Pr(XmaxL−1α>s>XmaxU−1α|X1...XN)=(XmaxXmaxU−1α)N−(XmaxXmaxL−1α)N
=UNα−LNα=Pr(Lα<Q<Uα)
1−α