불충분 또는 불충분


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랜덤 샘플 고려하십시오. 여기서 는 iid 랜덤 변수 인 입니다. 이 충분한 통계량 인지 확인하십시오 .{엑스1,엑스2,엑스}엑스나는이자형아르 자형영형나는()(0,1)(엑스)=엑스1+2엑스2+엑스

먼저 의 분포를 어떻게 찾을 수 있습니까? 또는 하면 뒤에 ? 모든 변수가 여기에서 독립적이 아니라는 점에 유의하지 않기 때문에(엑스1+2엑스2+엑스)엑스1+엑스2+엑스2+엑스나는(4,)

이와 달리, I는 공동 PMF 고려하여 분해 조건을 이용할 경우 다음 여기서 입니다.(엑스1,엑스2,엑스)에프(엑스1,엑스2,엑스)=엑스1+엑스2+엑스(1)(엑스1+엑스2+엑스)=[(엑스)(1)(엑스)]엑스2(1)엑스2(엑스)=엑스1+2엑스2+엑스

이것은 가 충분하지 않다는 것을 보여준다 .

그러나 정의를 따르고 를 적용하여이 비율이 독립적인지 확인하려면 어떻게해야합니까? 그런 다음 의 분포를 알아야합니다 . 그러면 의 분포는 무엇입니까 ?에프(엑스|)((엑스)|)(엑스)=엑스1+2엑스2+엑스


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힌트 : 의 전체 분포를 알 필요는 없습니다 . 예를 들어, 경우 경우를 고려하십시오 : 의 조건부 확률 분포는 무엇입니까? T(X)T(X)=2(X|T(X)=2)
whuber

경우 다음 . 따라서 에 의존한다 , 맞습니까? (엑스)=2(엑스1,엑스2,엑스){(1,0,1),(0,1,0)}(엑스|(엑스)=2)=2(1)+(1)2=(1)
랜던 카터

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그것이 올바른 생각입니다. 그러나 왜 두 가지 확률을 추가하는지 모르겠습니다. 아니다 벡터를 ? (원하는 경우 동일한 종류의 계산을 사용하여 의 전체 분포를 찾을 수 있지만 ( 값만 얻을 수 있음 ) 더 이상 필요하지 않습니까? ))엑스(엑스)0,1,2,3,4
whuber

그래 맞아. 감사! 따라서이 비율이 적어도 한 번의 샘플에 대해 와 무관하다는 것을 보여 주면 완료됩니다! 감사합니다. 그리고 새해 복 많이 받으세요 :)p
Landon Carter

예 는 벡터이지만 더 중요한 것은 이고 확률 . 내가 틀렸다면 정정 해주세요. XX=(X1,X2,X3)P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))
랜던 카터

답변:


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"whuber"와 토론을했고 샘플 포인트를 볼 수있는 (올바른?) 힌트를 얻었을 것입니다. 평가 해당 샘플 포인트 에서이 비율이 매개 변수와 무관한지 확인합니다 (이 경우 .P(X=x)P(T(X)=T(x))x

따라서 다음 취하십시오 . 따라서 우리는 . 이제,iid 속성으로 인해또한x=(1,0,1)T(1,0,1)=2(엑스=(1,0,1))((엑스)=2)

(엑스)=2 iff 엑스{(1,0,1),(0,1,0)}.
(엑스=(1,0,1))=2(1) 과 (엑스=(0,1,0))=(1)2.
((엑스)=2)=(엑스=(1,0,1))+(엑스=(0,1,0))=(1).

따라서 에 의존 명확 , 따라서 충분한 통계 아니다.

(엑스=(1,0,1))((엑스)=2)=2(1)(1)=
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