불충분 또는 불충분

랜덤 샘플 고려하십시오. 여기서 는 iid 랜덤 변수 인 입니다. 이 충분한 통계량 인지 확인하십시오 . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

먼저 의 분포를 어떻게 찾을 수 있습니까? 또는 하면 뒤에 ? 모든 변수가 여기에서 독립적이 아니라는 점에 유의하지 않기 때문에 $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

이와 달리, I는 공동 PMF 고려하여 분해 조건을 이용할 경우 다음 여기서 입니다. $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

이것은 가 충분하지 않다는 것을 보여준다 . $T$

그러나 정의를 따르고 를 적용하여이 비율이 독립적인지 확인하려면 어떻게해야합니까? 그런 다음 의 분포를 알아야합니다 . 그러면 의 분포는 무엇입니까 ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— 랜던 카터
소스

힌트 : 의 전체 분포를 알 필요는 없습니다 . 예를 들어, 경우 경우를 고려하십시오 : 의 조건부 확률 분포는 무엇입니까?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

경우 다음 . 따라서 에 의존한다 , 맞습니까?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— 랜던 카터

그것이 올바른 생각입니다. 그러나 왜 두 가지 확률을 추가하는지 모르겠습니다. 아니다 벡터를 ? (원하는 경우 동일한 종류의 계산을 사용하여 의 전체 분포를 찾을 수 있지만 ( 값만 얻을 수 있음 ) 더 이상 필요하지 않습니까? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

그래 맞아. 감사! 따라서이 비율이 적어도 한 번의 샘플에 대해 와 무관하다는 것을 보여 주면 완료됩니다! 감사합니다. 그리고 새해 복 많이 받으세요 :)

p

$p$

— Landon Carter

예 는 벡터이지만 더 중요한 것은 이고 확률 . 내가 틀렸다면 정정 해주세요.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— 랜던 카터

"whuber"와 토론을했고 샘플 포인트를 볼 수있는 (올바른?) 힌트를 얻었을 것입니다. 평가 해당 샘플 포인트 에서이 비율이 매개 변수와 무관한지 확인합니다 (이 경우 . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

따라서 다음 취하십시오 . 따라서 우리는 . 이제,iid 속성으로 인해또한 $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

티 (엑스) = 2 iff 엑스 \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

피 (엑스 = (1, 0, 1)) = 피^{2} (1 - 피) 과 피 (엑스 = (0, 1, 0)) = 피 (1 - 피)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

피 (티 (엑스) = 2) = 피 (엑스 = (1, 0, 1)) + 피 (엑스 = (0, 1, 0)) = 피 (1 - 피) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

따라서 에 의존 명확 , 따라서 충분한 통계 아니다.

\frac{피 (엑스 = (1, 0, 1))}{피 (티 (엑스) = 2)} = \frac{피^{2} (1 - 피)}{피 (1 - 피)} = 피

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— 랜던 카터
소스