키가 큰 직사각형 행렬에 의한 랜덤 변수의 선형 변환

확률 밀도 함수 가있는 분포에서 추출한 랜덤 벡터 이 있다고 가정하겠습니다 . 우리가 그것을 풀 랭크 행렬 로 선형 변환하여 를 얻는 다면, 의 밀도는 의해 주어집니다 $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

이제 제공 하는 행렬 대신 $\vec{X}$ 를 변환한다고 가정하겠습니다 . 분명히 이지만 차원 부분 공간 에 "존재"합니다 . 의 조건부 밀도는 있다는 것을 알면 무엇입니까? $m \times n$ $B$ $m > n$ $\vec{Z} = B\vec{X}$ $Z \in \mathbb{R}^m$ $n$ $G \subset \mathbb{R}^m$ $\vec{Z}$ $G$

나의 첫 번째 본능은 의 의사 역수를 사용하는 것이 었습니다 $B$ . 경우 $B = U S V^T$ 의 특이 값 분해이다 $B$ 다음 $B^+ = V S^+ U^T$ 역행렬이며, $S^+$ 대각 행렬의 비 - 제로 엔트리 반전시킴으로써 형성되는 $S$ . 나는 이것이

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$ 여기서

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$ 나는 0이 아닌 특이 값의 곱을 의미합니다.

이 추론의 밀도와 일치 단수 일반 (지식 조건으로 그 해당 부분 공간에 변수 삶) 주어진 여기 와 언급 도 여기에 와있는 이 CrossValidated 포스트 .

그러나 옳지 않습니다! 정규화 상수가 꺼져 있습니다. A (사소한) 반례는 다음의 경우를 고려하여 주어진다 함께 $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ ,하자 위

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$ 의 행렬

B

$B$ 는 단지 1 벡터입니다. 의사 역수는

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$ 및

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$ 입니다. 위의 추론은

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$ 그러나 이것은 실제로

라인

y = x

$y = x$ 에서

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ . 이 경우

항목 중 하나를 삭제할 수

\vec{Y}

$\vec{Y}$ 있지만

B

$B$ 가 훨씬 클 때 삭제할 항목 집합을 식별하는 것은 성가신 일입니다. 의사 역 추론이 효과가없는 이유는 무엇입니까? "높은"행렬에 의한 임의의 변수 세트의 선형 변환의 밀도 함수에 대한 일반 공식이 있습니까? 모든 참고 문헌도 크게 감사하겠습니다.

— 단
소스

앞으로이 문제를 해결할 수있는 사람들에게 ... 오류의 원인은 실제로 통합에서 비롯됩니다. 위의 예에서 행을 통해 통합이 이루어 집니다. 따라서 축의 각 단위 단계 가 라인 의 길이 단계에 해당하기 때문에 라인을 "파라미터 화"하고 적분을 취할 때 매개 변수의 야곱을 고려해야합니다 . 내가 암시 적으로 사용한 매개 변수화는 으로 주어졌습니다. 즉, 동일한 항목을 값으로 지정합니다. 이 코비가 깔끔하게과 취소, $y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ (분모에서 정확히 같은 야곱에서 온).

예제는 인위적으로 간단했습니다. 일반적인 변환 의 경우 문제의 맥락에서 자연스러운 출력에 대해 다른 매개 변수가있을 수 있습니다. 매개 변수화가 동일한 서브 스페이스 커버해야하므로 로서 ,이 서브 스페이스는 초평면되면, 파라미터 자체 가능성 선형이어야한다. 매개 변수 의 행렬 표현을 호출하면 요구 사항은 와 동일한 열 공간을 갖기 만하면됩니다 (동일한 초평면을 덮음). 그러면 최종 밀도는 $B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

일반적 으로이 설정은 이상합니다. 정확한 방법은 최대 선형 적으로 독립적 인 행 를 찾아 나머지 행을 제거하는 것입니다 (변환 된 변수 의 해당 구성 요소와 함께) 정사각 행렬 를 얻으려면 ) . 그런 다음 문제는 전체 순위 사례로 감소합니다 ( 에 전체 열 순위가 있다고 가정 ). $B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— 단
소스