누적 분포 함수 (CDF)가 분포를 고유하게 정의하는 이유는 무엇입니까?

CDF는 독특하지만 PDF / PMF는 독특하지 않다는 말을 항상 들었습니다. 왜 그런가요? PDF / PMF가 고유하지 않은 예를들 수 있습니까?

— DKangeyan
소스

고유성에 대해

의 균일 분포 PDF 와 내부의

균일 분포 사이의 차이를 고려할 수 있습니다 . PDF의 존재 여부에 대한 질문을 다루는 또 다른 재미있는 연습은 유리수에 대한 분포의 PDF가 어떻게 보일지에 대해 생각하는 것입니다. 예를 들어 보자

마다

[0, 1]

$[0,1]$

(0, 1)

$(0,1)$

Pr (j 2^{- i}) = 2^{1 - 2 i}

$\Pr(j2^{-i})=2^{1-2i}$

0 < j 2^{- i} < 1

$0\lt j2^{-i}\lt 1$

이고

가 홀수입니다.

i \geq 1

$i\ge 1$

j

$j$

— whuber

CDF를 보면서 모든 배포판에 PDF가 있거나 PMF가있는 것은 아닙니다. 연속 변수는 매끄럽게 보이는 CDF를 갖고, 개별 변수는 "계단"을 가지며, 일부 CDF는 혼합되어 있습니다.

— Silverfish

@ Silverfish : ... 그리고 위의 어느 것도 아닙니다! :-)

— 추기경

제목 (어쩌면 다소 느슨하게)을 다루기 위해 CDF는 CDF (또는 DF / '배포 함수'와 동일합니다. "C"는 우리가 이야기하고있는 대상임을 명확히하기 위해서만 작용합니다)라는 용어이기 때문에 분포를 정의합니다. '배포'는 문자 적으로 참조합니다. "D"는 그 부분의 단서입니다. "F"의 고유 한 기능입니다. 함수는 단일 값이므로 두 분포 함수가 동일하면 정의한 객체가 동일합니다. DF가 어디에서나 다르다면, 그것들의 정의는 그 시점에서 다를 수 있습니다. 그게 긴장이야? 나는 생각합니다.

— Glen_b-복지국 모니카

@Glen_b 훈련 된 직관에 대해서만 긴장이 풀립니다. 분포 함수

는

형식의 확률 만 제공합니다.

F

$F$

전체분포는

형식의 확률을 지정 함)

F (x) = Pr {ω \in Ω | X (ω) \leq x}

$F(x)=\Pr\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\le x\}$

임의의 측정 가능한 세트

가 분포를 결정 함을 보여 주어야합니다. NicholasB 지적한 바와 같이, 즉, (반 개방 구간) 세미 - 링으로부터 미리 측정 연장의 문제

전체 베그 행 시그마 필드와 독특한 표시

Pr ({ω \in Ω | X (ω) \in B}

$\Pr(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)\in\mathcal{B}\}$

B \subset R

$\mathcal{B}\subset\mathbb R$

F

$F$

μ ((a, b]) = F (b) - F (a)

$\mu((a,b])=F(b)-F(a)$

— whuber

답변:

몇 가지를 상기시켜 봅시다. 하자 될 확률 공간 , 우리의 샘플 세트는, 우리 인 -algebra 및 정의 확률 함수 . 랜덤 변수는 측정 가능한 함수이다 즉 대한 베그 측정 서브셋 $(\Omega,A,P)$ $\Omega$ $A$ $\sigma$ $P$ $A$ $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X^{-1}(S) \in A$ $\mathbb{R}$ . 이 개념에 익숙하지 않으면 나중에 말한 모든 내용이 의미가 없습니다.

우리가 임의의 변수 을 가질 때마다 , 그것은 범주 푸시 포워드에 의해 에 대한 확률 측정 를 유도합니다 . 다시 말해, 이다. 가 확률 측정 값인지 확인하는 것은 쉽지 않습니다 . 우리는 전화 유통 의 . $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'(S) = P(X^{-1}(S))$ $X'$ $\mathbb{R}$ $X'$ $X$

이제이 개념과 관련된 것은 함수 변수 의 분포 함수 입니다. 임의의 변수를 감안할 때 우리가 정의 . 분포 함수 에는 다음과 같은 속성이 있습니다. $X:\Omega \to \mathbb{R}$ $F(x) = P(X\leq x)$ $F:\mathbb{R} \to [0,1]$

는연속입니다. $F$
는 감소하지 않습니다 $F$
및 . $F(\infty) = 1$ $F(-\infty)=0$

분명히 동일한 랜덤 변수는 동일한 분포 및 분포 함수를 갖습니다.

주어진 분포 함수로 프로세스를 되돌리고 측정 값을 얻는 것은 매우 기술적 인 것입니다. 분포 함수 가 주어 졌다고하자 . 정의 당신은 것을 보여주고있다. 의 간격의 반 대수의 측정 그 후 당신이 적용 할 수 있습니다. Carathéodory 확장 정리 의 확률 측정 값으로 를 확장 합니다. $F(x)$ $\mu(a,b] = F(b) - F(a)$ $\mu$ $(a,b]$ $\mu$ $\mathbb{R}$

— 니콜라스 부르 바키
소스

This is a good start to an answer, but may be unintentionally obscuring the matter at hand a bit. The main issue seems to be showing that two measures with the same distribution function are, in fact, equal. This requires nothing more than Dynkin's

π

$\pi$ -

λ

$\lambda$ theorem and the fact that sets of the form

(- \infty, b]

$(-\infty, b]$ form a

π

$\pi$ -system that generates the Borel

σ

$\sigma$ -algebra. Then the nonuniqueness of a density (assuming it exists!) can be addressed and contrasted with the above.

— cardinal

(하나의 추가 사소한 퀴즈 : 임의 변수는 일반적으로 Lebesgue 세트가 아닌 Borel 세트로 정의됩니다.) 약간의 편집으로이 답변이 매우 명확하게 될 것이라고 생각합니다. :-)

— 추기경

@cardinal 나는 분석을 먼저 생각한다. 그러므로 이것은 내가 왜 Lebesgue 세트를 생각하는 것을 선호하는지 설명 할 수 있습니다. 두 경우 모두 언급 된 내용에 영향을 미치지 않습니다.

— Nicolas Bourbaki

적분이 동일한 (즉, 동일한 분포 함수를 갖는) 두 밀도의 예에 대한 요청에 응답하려면 다음 함수를 실수로 정의하십시오.

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

그리고;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

They are not equal at all x, but are both densities for the same distribution, hence densities are not uniquely determined by the (cumulative) distribution. When densities with a real domain are different only on a countable set of x values, then the integrals will be the same. Mathematical analysis is not really for the faint of heart or the determinately concrete mind.

— DWin
소스

I disagree with the statement, "the probability distribution function does not uniquely determine a probability measure", that you say in your opening question. It does uniquely determine it.

Let $f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ be two probability mass functions. If,

\int_{E} f_{1} = \int_{E} f_{2}

$\int_E f_1 = \int_E f_2$ For any measurable set

E

$E$ then

f_{1} = f_{2}

$f_1=f_2$ almost everywhere. This uniquely determines the pdf (because in analysis we do not care if they disagree on a set of measure zero).

We can rewrite the above integral into,

\int_{E} g = 0

$\int_E g = 0$ Where

g = f_{1} - f_{2}

$g=f_1-f_2$ is an integrable function.

Define $E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$ , so $\int_E g = 0$ . We use the well-known theorem that if an integral of a non-negative function is zero then the function is zero almost everywhere. In particular, $g=0$ a.e. on $E$ . So $f_1 = f_2$ a.e. on $E$ . Now repeat the argument in the other direction with $F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$ . We will get that $f_1 = f_2$ a.e on $F$ . Thus, $f_1 = f_2$ a.e. on $E\cup F = \mathbb{R}$ .

— Nicolas Bourbaki
소스