연속으로 10 개의 머리가 다음 번 던지기의 가능성을 증가 시킵니까?

나는 사실 다음과 같은 가정 공정한 동전을 가정하고, 다음 동전의 기회를 증가하지 않는 동전 던지기 동안 연속 (10 개)의 머리를 점점 꼬리되고 던지기 , 아무리 확률 및 / 또는 통계 용어의 어떤 양의 주위에 던져하지 않습니다 (말장난을 실례합니다).

그것이 사실이라고 가정하면, 나의 질문은 이것입니다 : 어떻게 그 사건에 대해 누군가를 설득합니까?

그들은 영리하고 교육을 받았지만 내가 이것에 대한 올바른 입장에 있다고 생각하지 않는 것처럼 보입니다 (논쟁).

그들은 10 개의 헤드가 있다면 [...]라고 주장하려고 노력하고있다. 통계에서 마지막에 균형을 잡을 것이기 때문에 순서의 다음은 아마도 꼬리 일 것이다.

매우 특별한 의미에서 "밸런싱 아웃"만 있습니다.

그것이 공정한 동전이라면, 여전히 던지기마다 50-50입니다. 동전 은 과거를 알 수 없습니다 . 머리가 너무 많다는 것을 알 수 없습니다. 과거를 보상 할 수 없습니다. 이제까지 . 그것은 끊임없이 머리의 기회와 함께 무작위로 머리 또는 꼬리가됩니다.

경우 에 머리의 수 토스 ( 꼬리의 수), 공정한 동전을 위해, 로, 1 경향이 무한대 ....하지만0으로 가지 않습니다. 사실, 그것은 또한 무한대로갑니다! n = n H + n T n T n H / n T n H + n T | n H - n T $n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

즉, 그들을 더 고르게 만드는 것은 없습니다. 카운트 는 "밸런싱 아웃"경향 이 없습니다 . 평균적으로 머리 수와 꼬리 수의 불균형이 실제로 커집니다!

1000 토스의 100 세트의 결과는 다음과 같습니다. 회색 흔적은 모든 단계에서 머리 수에서 꼬리 수를 뺀 차이를 보여줍니다.

회색 자취 ( )는 Bernoulli 랜덤 워크입니다. 입자가 각 시간 단계에서 단위 단계 (임의의 확률로 임의의 확률로)로 y 축 위나 아래로 이동한다고 생각하면 입자의 위치 분포가 시간이 지남에 따라 0에서 '확산'됩니다. 여전히 예상 값은 0이지만 0에서 예상 거리는 시간 단계 수의 제곱근으로 증가합니다. [ "라고 생각하는 사람 은 " 예상 된 절대 차이 또는 RMS 차이 " 에 대해 이야기하고 있다는 것입니다. 실제로 큰 경우 첫 번째는 두 번째의 80 %입니다.] n $n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

위의 파란색 곡선은 있고 녹색 곡선은 있습니다. 보시다시피 총 머리와 총 꼬리 사이의 일반적인 거리가 커집니다. 평등과의 편차를 '보완'하기 위해 '평등으로 복원'하는 것이 있다면 일반적으로 그렇게 멀어지지는 않을 것입니다. (그것은 수학적으로이 보여 어렵지 않습니다,하지만 난 그 친구를 설득 것이라고 의심 중요한 부분은 독립 확률 변수의 합의 차이가 있다는 것이다. 분산은의 합이 링크 섹션의 끝을 볼 - 모든이 다른 코인 플립을 추가 할 때 합계의 분산에 일정한 양을 추가하면 분산은 비례하여 증가해야합니다. ±2$\pm \sqrt{n}$ <>n$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$. 결과적으로 표준 편차는 과 함께 증가 합니다. 이 경우 각 단계에서 분산에 더해지는 상수는 1이지만 인수에 결정적인 것은 아닙니다.)$\sqrt{n}$

마찬가지로 는 총 토스가 무한대로 갈수록 이되지만 는 보다 훨씬 빠르게 무한그렇습니다. 0nH+nT| nH-nT$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

즉 , 각 단계에서 누적 횟수 를$n$ 나눈 경우 에는 곡선으로 표시됩니다. 일반적인 개수의 절대 차이는 이지만 비율 의 일반적인 절대 차이 는 다음과 같아야합니다. . 1/$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

그게 다야. 평등에서 점점 더 큰 임의의 편차 는 훨씬 더 큰 분모에 의해 " 지워집니다 " .

* 일반적인 절대 크기 증가

여백의 작은 애니메이션을보십시오. 여기

친구가 확신이 없으면 동전을 던지십시오. 당신이 3 개의 머리를 연속으로 말할 때마다, 그 사람이 자신의 추론에 의해 공평해야한다고 생각하는 다음 던지기의 머리 (50 % 미만)에 대한 가능성을 지명하도록하십시오. 그들에게 해당 확률을 알려달라고 요청하십시오 (즉, 머리에 베팅하면 꼬리가 더 가능성이 높기 때문에 1 : 1 이상을 기꺼이 지불해야합니다). 소액의 돈에 대해 각각 많은 베팅으로 설정하는 것이 가장 좋습니다. (왜 그들이 내기의 절반을 감당할 수 없는지에 대한 변명이 있더라도 놀라지 마십시오. 그러나 적어도 그 입장이 유지되는 vehemence를 크게 줄이는 것처럼 보입니다.)

[그러나,이 모든 논의는 공정한 동전에 근거합니다. 동전이 불공평 한 경우 (50-50), 예상 비율 차이와의 편차를 기반으로 한 다른 버전의 토론이 필요합니다. 10 번의 토스에 10 개의 헤드가 있으면 p = 0.5의 가정을 의심 할 수 있습니다. 잘 던져 동전 공정에 가까워 야 가중 여부 - -하지만 실제로는 여전히 작지만 악용 전시 바이어스를 사람 특히, 그것을 이용이 퍼시 디아 코니스 같은 사람입니다. 다른 한편으로 회전 된 동전 은 한쪽면에 더 많은 무게로 인해 편향되기 쉽다.]

혼란은 그가 이미 일어난 일을 보지 않고 시작부터 확률을보고 있기 때문입니다.

일을 단순화하자 :

첫 플립 :

T

이제 T의 확률은 50 %이므로 0.5입니다.

다음 플립이 다시 T가 될 확률은 0.5입니다.

TT 0.5
TF 0.5

그러나 첫 플립은 어떻습니까? 포함하면 다음과 같습니다.

TT 0.25
TF 0.25

나머지 50 %는 F로 시작하고 다시 T와 F로 균등하게 분할됩니다.

이것을 연속으로 10 개의 꼬리까지 확장하려면 이미 얻은 확률은 1/1024입니다.

다음 것이 T 또는 F 일 확률은 50 %입니다.

따라서 1148 개의 꼬리가 시작될 확률은 2048 년에 1입니다. 이미 꼬리를 10 번 뒤집었을 때 다음 플립도 꼬리가 될 확률은 여전히 ​​50 %입니다.

그들은 실제로 발생 했으므로 발생 가능성이 더 이상 중요하지 않을 때 다른 T의 확률에 10 T의 1024 확률에서 1의 비 유사성을 적용하려고합니다.

연속으로 11 개의 꼬리는 10 개의 꼬리에 이어 하나의 머리가 뒤 따르지 않습니다.

11 번의 플립이 모두 꼬리 일 확률은 낮지 만 이미 발생 했으므로 더 이상 중요하지 않습니다!

다음 플립은 테일이 될 확률은 여전히 ​​50-50입니다.

매우 간단한 설명 : 10 개의 머리 + 1 개의 꼬리를 그 순서대로 뒤집을 확률은 매우 낮습니다. 그러나 당신이 10 개의 머리를 뒤집었을 때, 당신은 이미 대부분의 가능성을 이겼습니다 ... 다음 동전 던지기로 50-50 번의 기회를 끝낼 수 있습니다.

만약 이전 결과가 다가오는 토스에 영향을 미쳤다면 마지막 10 번의 토스뿐만 아니라 코인 수명의 모든 이전 토스도 고려해야한다고 설득해야합니다.

더 논리적 인 접근 방식이라고 생각합니다.

이것은 실제로 답이 아닙니다. 문제는 수학이 아니라 심리적입니다. 그러나 도움이 될 수 있습니다.

sometimes$2^{10} \approx 10^3$ . 만약 15,000 명의 사람들이 이것을 시도한다면 그들 중 약 30 명은 머리 나 꼬리 모두 특별한 동전을 가지고 있다고 생각할 것입니다. 그들이이 주장을 받아들이면 순차적으로 던지는 단계는 조금 더 쉽다.

$1/2$

$x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

다른 측면은 다음과 같습니다. 10 개의 꼬리를 10 번 던지면 동전이 좋은지 누군가가 의심하기 시작합니다. "토서"(토스를하는 사람)가 어떤 방식으로 토스를 제어하도록 훈련받지 않았다고 가정하고 실제로 정직하게 던지고 있다고 가정하면 꼬리의 확률은 절반이어야합니다 ( 이 Gelman 논문 참조 ).

그러므로 대립 가설에는 동전 던지기 사이에 약간의 의존성이 있어야합니다! 그리고 열 개의 꼬리를 연속으로 본 후에는 의존성이 긍정적 인 것이므로 하나의 꼬리는 다음 동전 던지기가 꼬리가 될 확률을 증가시킵니다. 그러나 그 분석 후, 합리적인 결론은 열한 번째 던지기가 꼬리가 될 확률이 증가한다는 것입니다. 하지 않고 ! 이 경우 결론은 도박꾼 친구들 과 반대 입니다.

나는 그들의 결론을 정당화하기 위해 정말로 이상한 모델이 필요하다고 생각합니다.

동전 던지기가 독립적이라고 가정하면, 한 통계 학자에서 다른 통계학 자로 쉽게 증명할 수 있습니다. 그러나 친구는 동전 뒤집기가 독립적이라고 믿지 않는 것 같습니다. 독립과 동의어 (예를 들어, 동전에 "메모리"가 없음)와 같은 단어를 던지는 것 외에는 동전 뒤집기가 단순한 단어 논쟁과 독립적이라는 것을 증명할 수 없습니다. 나는 시뮬레이션을 사용하여 귀하의 주장을 주장하지만 솔직히 말하면 친구가 동전 뒤집기가 독립적이라고 생각하지 않는다면 시뮬레이션 결과를 믿을 것이라고 확신하지 못합니다.

@TimB와 @James K에 의해 이미 주어진 설명 중 일부를 다시 말하면, 동전을 10 번 뒤집고 10 개의 머리를 얻었 을 때, 10 개의 머리를 연속으로 얻을 확률은 정확히 1.0입니다! 이미 발생 했으므로 이제 일어날 확률이 수정되었습니다.

다음 플립 (0.5)에 머리를 올릴 확률을 곱하면 정확히 0.5가됩니다.

그 시점에서 확률이 아닌 다른 것으로 꼬리에 베팅하는 것은 빠는 것입니다.

동전이 공정하다고 확신한다고 가정 해 봅시다. 동전이 공정하면 10 개의 머리를 연속으로 가질 확률은 따라서, 의 로서 , 나는 : coin이 공정하다는 것을 하고 : "뭔가 비린"사실 이라고 결론 내려야 합니다. 아니요, 다른 헤드를 볼 확률은 여전히 라고 주장 할 수 없습니다

베이지안 접근법을 적용하고 비슷한 결론을 내릴 수 있도록 남겨 두겠습니다. 의 사전 확률로 시작한 다음 10 개의 헤드를 연속으로 관찰하여 업데이트하면 헤드의 후방 확률이$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

@oerkelens 업데이트는 두 가지 방법으로 해석 할 수 있습니다.

• 친구가 THHTTHTTHT에 베팅 한 다음 동전을 10 번 던져서 THHTTHTTHT를 얻었습니다. 이 경우 연속으로 10 개의 헤드가있는 것처럼 놀랍고 동전의 공정성을 의심하기 시작합니다. 다음 토스에서 꼬리 확률에 대해 어떻게 생각해야할지 잘 모르겠습니다. 친구가 원하는 것을 정확하게 얻을 수있는 것 같기 때문에 이것은 무작위가 아닙니다.
• 동전을 10 번 던졌고 THHTTHTTHT 인 조합을 관찰하면 꼬리 6 개와 머리 4 개가 는 눈에 띄지 않습니다. 따라서 다음 번 던지기에서 꼬리가 나올 확률은 아마도 일 것입니다. 왜냐하면 공정성을 의심 할 이유가 없기 때문입니다.$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

또한 0.001은 작은 확률이지만 10 개의 코인을 10 만 번 던지면 몇 개의 10 헤드 조합이 표시 될 수 있습니다. 사실,이 경우 총 백만 개의 동전 던지기가 있으며 시퀀스에서 적어도 하나의 10 헤드 조합을 찾고 있습니다. 따라서 다음과 같이 계산됩니다. 동전을 100 만 번 던지고 10- 머리 조합을 관찰 한 후 오랜 기간이 지나면 큰 일이 일어나지 않습니다. 그는 다음 헤드의 확률에 대한 기대치를 조정하지 않고 0.5로 유지합니다.

컴퓨터 사용자를 위해 친구가 컴퓨터 프로그래머라면, 직관에 호소하는 가장 쉬운 방법은 프로그래밍을 통한 것임을 알았습니다. 그들에게 동전 던지기 실험을 프로그램하도록 요청하십시오. 그들은 조금 생각하고 다음과 같은 것을 생각해 낼 것입니다.

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

당신은 그들에게 물어볼 것입니다

10 개의 헤드를 연속으로 처리하기위한 코드는 어디에 있습니까? 첫 10 루프에서 발생한 일에 관계없이 코드에서 11 번째 던지기에는 0.5 확률의 헤드가있는 것으로 보입니다.

그러나이 경우 공정한 동전 던지기에 호소합니다. 코드는 공정한 동전 던지기로 설계되었습니다. 그러나 10 헤드의 경우 동전이 공정하지 않을 가능성이 큽니다.

이상적인 상황에서 대답은 '아니요'입니다. 각 던지기는 이전에 온 것과 무관합니다. 따라서 이것이 진정한 공정한 동전이라면 중요하지 않습니다. 그러나 동전에 결함이 있는지 여부 (실제로 발생할 수 있음)가 확실하지 않으면 긴 꼬리가 불공평하다고 믿을 수 있습니다.

이 답변은 Monty Hall 문제를 포함하여 이런 종류의 모든 질문에 적용됩니다. 그들에게 10 번의 머리 이후에 꼬리가 나올 확률에 대해 물어보십시오. 약간 더 잘 (하지만 그들에게) 50-50 확률 이하로 플레이하도록 제안하십시오. 운이 좋으면 그들은 컴퓨터가 뒤집기를 할 수 있다는 데 동의 할 것입니다.이 경우 주머니에 돈이 빨리 들어갑니다. 그렇지 않으면 시간이 오래 걸리지 만 결과는 필연적으로 동일합니다.

어떻게 설득 하시겠습니까? 한 가지 방법은 설명 된 정확한 문제의 결과 분포를 보여주는 것입니다.

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

다음과 같이 시도하십시오. 이미 번의 머리 던지기 가 있다고 가정합니다. "거기있을 확률"이 매우 드문 이벤트입니다 . 이제 우리는 한 번 더 던질 준비를하고 다음에 일어날 일을 미리 생각합니다.0.5 $10$$0.5^{10}$

• 만약 꼬리가 있다면, 우리는 여전히 확률로 매우 희귀 한 일련의 사건들을 기록하게됩니다 .$0.5^{10}$
• 머리라면 전체 계열의 확률은 다소 작지만 그리 크지는 않습니다. ;$0.5^{11}$

그리고 둘의 차이점은 단지 하나의 공정한 동전 던지기입니다.