R의 커널 밀도 추정에서 "pdf"영역

커널 밀도 추정을 위해 R 의 ' density '기능 을 사용하려고합니다 . 곡선 아래 면적이 반드시 1 인 것처럼 보이지 않기 때문에 결과를 해석하고 다양한 데이터 세트를 비교하는 데 약간의 어려움이 있습니다. 확률 밀도 함수 (pdf) 경우 입니다. 커널 밀도 추정치가 pdf를보고한다고 가정합니다. 내가 사용하고 integrate.xy 에서 sfsmisc 곡선 아래의 면적을 추정 할 수 있습니다.$\phi(x)$$\int_{-\infty}^\infty \phi(x) dx = 1$

> # generate some data
> xx<-rnorm(10000)
> # get density
> xy <- density(xx)
> # plot it
> plot(xy)

> # load the library
> library(sfsmisc)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000978
> # fair enough, area close to 1
> # use another bw
> xy <- density(xx,bw=.001)
> plot(xy)

> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 6.518703
> xy <- density(xx,bw=1)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000977
> plot(xy)

> xy <- density(xx,bw=1e-6)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 6507.451
> plot(xy)

곡선 아래 면적이 항상 1이 아니어야합니까? 작은 대역폭이 문제인 것 같지만 때로는 꼬리에 세부 사항 등을 표시하고 작은 대역폭이 필요합니다.

업데이트 / 답변 :

통합 점의 수가 증가하면 문제가 줄어드는 것처럼 볼록 영역의 과대 평가에 대한 아래의 대답은 올바른 것 같습니다 ( 점 이상을 사용하려고 시도하지 않았습니다 ).$2^{20}$

> xy <- density(xx,n=2^15,bw=.001)
> plot(xy)

> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 1.000015
> xy <- density(xx,n=2^20,bw=1e-6)
> integrate.xy(xy$x,xy$y)
[1] 2.812398

사다리꼴 규칙 integrate.xy()사용 에 대해 생각하십시오 . 정규 분포의 경우 밀도가 오목한 (따라서 선형 보간이 실제 밀도보다 낮음) 구간 (-1,1)에서 곡선 아래 면적 을 과소 평가 하고 다른 위치 (선형 보간이 진행됨)로 과대 평가 합니다 진정한 밀도 위에). 후자의 영역이 더 크므로 (원하는 경우 Lesbegue 측정에서) 사다리꼴 규칙은 적분을 과대 평가하는 경향이 있습니다. 이제 더 작은 대역폭으로 이동하면 거의 모든 추정치가 데이터 단위에 해당하는 많은 좁은 스파이크와 그 사이의 골짜기가있는 부분적으로 볼록합니다. 그것이 사다리꼴 규칙이 특히 나빠지는 곳입니다.

괜찮습니다. 이동 및 스케일링을 수정할 수 있습니다. 밀도가 음이 아닌 가장 작은 수를 더한 다음 면적이 단일이되도록 상수에 곱하십시오. 이것은 쉬운 방법입니다.

$L_2$$c$$\left[\phi(x)-c\right]^+$