확률의 수렴에 대하여

보자 $\{X_n\}_{n\geq 1}$ 확률 변수 일 수 시퀀스 $X_n \to a$ 확률에서 $a>0$ 고정 상수이다. 나는 다음을 보여 주려고 노력하고있다 :

\sqrt{X_{n}} \to \sqrt{a}

$\sqrt{X_n} \to \sqrt{a}$ 와

\frac{a}{X_{n}} \to 1

$\frac{a}{X_n}\to 1$ 둘 다 확률입니다. 나는 나의 논리가 건전한 지보기 위해 왔습니다. 여기 내 작품이 있습니다

시도

첫 번째 부분은
$| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | < ϵ ⟸ | X_{n} - a | < ϵ | \sqrt{X_{n}} + \sqrt{a} | = ϵ | (\sqrt{X_{n}} - s q r t a) + 2 \sqrt{a} |$ $|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|\sqrt{X_n}+\sqrt{a}|=\epsilon|(\sqrt{X_n}-sqrt{a})+2\sqrt{a}|$ $\leq ϵ | \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | + 2 ϵ \sqrt{a} < ϵ^{2} + 2 ϵ \sqrt{a}$ $\leq \epsilon|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|+2\epsilon\sqrt{a}<\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}$ 공지 사항 $ϵ^{2} + 2 ϵ \sqrt{a} > ϵ \sqrt{a}$ $\epsilon^2+2\epsilon\sqrt{a}>\epsilon\sqrt{a}$ 다음에 $P (| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | \leq ϵ) \geq P (| X_{n} - a | \leq ϵ \sqrt{a}) \to 1 a s n \to \infty$ $P(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\leq \epsilon)\geq P(|X_n-a|\leq \epsilon\sqrt{a})\to 1 \;\;as\;n\to\infty$ $⟹ \sqrt{X_{n}} \to \sqrt{a} i n p r o b a b i l i t y$ $\implies \sqrt{X_n}\to\sqrt{a} \;\;in\;probability$
두 번째 부분, 우리는 이제 as 이기 때문에 은 한정된 시퀀스입니다. 즉, 실수 st . 따라서
$| \frac{a}{X_{n}} - 1 | = | \frac{X_{n} - a}{X_{n}} | < ϵ ⟸ | X_{n} - a | < ϵ | X_{n} |$ $|\frac{a}{X_n}-1|=|\frac{X_n-a}{X_n}|<\epsilon \impliedby |X_n-a|<\epsilon|X_n|$ $X_n \to a$ $n \to \infty$ $X_n$ $M<\infty$ $|X_n|\leq M$ 확률이 그것을보고, 우리가 $| X_{n} - a | < ϵ | X_{n} | ⟸ | X_{n} - a | < ϵ M$ $|X_n-a|<\epsilon|X_n|\impliedby |X_n-a|<\epsilon M$ $P (| \frac{a}{X_{n}} - 1 | > ϵ) = P (| X_{n} - a | > ϵ | X_{n} |) \leq P (| X_{n} - a | > ϵ M) \to 0 a s n \to \infty$ $P(|\frac{a}{X_n}-1|>\epsilon)=P(|X_n-a|>\epsilon|X_n|)\leq P(|X_n-a|>\epsilon M)\to 0 \;\;as\;n\to\infty$

나는 첫 번째에 대해 확신하지만 두 번째에 대해서는 꽤 만족합니다. 내 논리 소리 였어?

— 새비지 헨리
소스

X_{n}

$X_n$

Pr (X_{n} = a) = 1 - 1 / n

$\Pr(X_n=a)=1-1/n$

Pr (X_{n} = n) = 1 / n

$\Pr(X_n=n)=1/n$

1 - 1 / n \to 1

$1-1/n\to 1$

a

$a$

sup (X_{n}) = max (a, n) \to \infty

$\sup(X_n)=\max(a,n)\to\infty$

연속 매핑 정리?

— Christoph Hanck

답변:

증거의 세부 사항은 적절한 직관과 기술을 개발하는 것보다 중요하지 않습니다. 이 답변은이를 수행하도록 설계된 접근 방식에 중점을 둡니다. 세 단계로 구성됩니다. 가정 및 정의가 도입 된 "설정"; 어떤 가정이 증명되어야 할 것과 관련이있는 "신체"(또는 "중요한 단계")와 증명이 완료되는 "철거". 확률 증명을 사용하는 많은 경우와 마찬가지로 여기서 중요한 단계 는 훨씬 더 복잡한 랜덤 변수 자체를 다루지 않고 숫자 (랜덤 변수의 가능한 값)로 작업하는 것입니다.

임의의 변수 의 시퀀스가 상수 될 확률 의 수렴 은 어떤 이웃 을 선택 하든 , 결국 각 는 임의로 가까운 확률로이 이웃에 있습니다. (나는 "결국 적으로"그리고 "임의로 가까운"을 공식 수학으로 번역하는 방법에 대해서는 언급하지 않을 것이다.이 글에 관심이있는 사람은 이미 알고있다. $Y_n$ $a$ $0$ $Y_n-a$ $1$

이웃 은 개방 집합이 인 구성원 인 실수 집합입니다 . $0$ $0$

설정은 일상적입니다. 시퀀스를 고려하고 을 이웃으로 둡니다 . 목표는 결국 이 임의로 에있을 가능성이 것을 보여주는 것 입니다. 이후 이웃이고,가되어야하는 하는 개방 구간 . 우리는 줄어들 수있다 보장하기 위해 필요한 경우 도. 이는 후속 조작이 합법적이고 유용하다는 것을 보장합니다. $Y_n = a/X_n$ $\mathcal{O}$ $0$ $Y_n-1$ $\mathcal{O}$ $\mathcal{O}$ $\epsilon \gt 0$ $(-\epsilon, \epsilon)\subset \mathcal{O}$ $\epsilon$ $\epsilon \lt 1$

중요한 단계 는 을 과 연결하는 입니다 . 그것은 무작위 변수에 대한 지식이 전혀 필요하지 않습니다. 숫자 부등식 대수 (가정 는 숫자 집합 대해 은 모든 세트와 일대일로 대응 합니다. $Y_n$ $X_n$ $a\gt 0$ $\{Y_n(\omega)\,|\, Y_n(\omega) - 1 \in (-\epsilon, \epsilon)\}$ $\epsilon \gt 0$ $X_n(\omega)$

\frac{a}{1 + ϵ} < X_{n} (ω) < \frac{a}{1 - ϵ} .

$\frac{a}{1+\epsilon} \lt X_n(\omega) \lt \frac{a}{1-\epsilon}.$

마찬가지로

X_{n} (ω) - a \in (- \frac{a ϵ}{1 + ϵ}, \frac{a ϵ}{1 - ϵ}) = U .

$X_n(\omega)-a \in \left(-\frac{a\epsilon}{1+\epsilon}, \frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right) = \mathcal{U}.$

이기 때문에 오른쪽의 실제로 근처입니다 . (이것은 때 무엇이 분해되는지 명확하게 보여줍니다 .) $a\ne 0$ $\mathcal{U}$ $0$ $a=0$

우리는 탈퇴 할 준비가되었습니다.

때문에 확률, 우리는 결국 서로 알고 내에있는 것 임의의 높은 확률로. 마찬가지로, 은 결국 임의로 확률이 높은 QED 입니다. $X_n \to a$ $X_n-a$ $\mathcal{U}$ $Y_n-1$ $(-\epsilon,\epsilon) \subset \mathcal{O}$

— 우버
소스

답변이 늦어서 죄송합니다. 바쁜 주였습니다. 많은 감사합니다 !!!

— Savage Henry

우리는

lim_{n \to \infty} P (| X_{n} - α | > ϵ) = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P(|X_n-\alpha| > \epsilon) = 0$

그리고 우리는 것을 보여주고 싶어

lim_{n \to \infty} P (| \frac{α}{X_{n}} - 1 | > ϵ) = 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| > \epsilon\right) = 0$

우리는 그것을 가지고

| \frac{α}{X_{n}} - 1 | = | \frac{1}{X_{n}} (α - X_{n}) | = | \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α |

$\left|\frac {\alpha}{X_n}-1\right| = \left|\frac {1}{X_n}(\alpha-X_n)\right| = \left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right|$

마찬가지로, 우리는 확률 한계를 조사하고 있습니다

lim_{n \to \infty} P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ) = ? 0

$\lim_{n \rightarrow \infty}P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) = \;?\;0$

우리는 확률을 두 개의 상호 배타적 인 공동 확률로 나눌 수 있습니다

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ) = P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1) + P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | < 1)

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon\right) =\\ P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) + P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right)$

첫 번째 요소에는 일련의 불평등이 있습니다

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1) \leq P [| X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | \geq 1] \leq P [| X_{n} - α | > ϵ]

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \right) \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| \geq 1 \big] \leq P\big[\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon \big]$

첫 번째 불평등은1보다 높고 그 역수는 1 보다 작 습니다. 이벤트 집합의 공동 확률이 이러한 이벤트의 하위 집합 확률보다 클 수 없기 때문에 두 번째 불평등. 가장 오른쪽 항의 한계는 0 (이것은 전제)이므로 가장 왼쪽 항의 한계도 0입니다. 따라서 우리에게 관심을 가질 확률의 첫 번째 요소는 0입니다. $|X_n|$

두 번째 요소는

P (| \frac{1}{X_{n}} | | X_{n} - α | > ϵ, | X_{n} | < 1) = P (| X_{n} - α | > ϵ | X_{n} |, | X_{n} | < 1)

$P\left(\left|\frac {1}{X_n}\right|\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon,|X_n| < 1 \right) = P\left(\left|X_n-\alpha\right| > \epsilon|X_n|,|X_n| < 1 \right)$

정의. 여기부터경계는 를 임의로 작거나 크게 만들 수 있으므로 과 같습니다 . 따라서 불평등은 $\delta \equiv \epsilon\cdot \max |X_n|$ $|X_n|$ $\delta$ $\epsilon$

P [| X_{n} - α | > δ, | X_{n} | < 1] \leq P [| X_{n} - α | > δ]

다시 한 번, 오른쪽의 한계는 우리의 전제에 의해 0이므로 왼쪽의 한계도 0입니다. 따라서 우리에게 관심을 가질 확률의 두 번째 요소도 0입니다. QED.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

첫 번째의 경우, 소요 것을, 그리고 메모를 따라서 정의하는 에 대해 일 때 , 이는 암시합니다 . $x,a,\epsilon>0$

\begin{aligned} | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq ϵ & \Rightarrow | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq ϵ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow | \sqrt{x} - \sqrt{a} | \geq \frac{ϵ \sqrt{a}}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} \\ \Rightarrow | (\sqrt{x} - \sqrt{a}) (\sqrt{x} + \sqrt{a}) | \geq ϵ \sqrt{a} \Rightarrow | x - a | \geq ϵ \sqrt{a} . \end{aligned}

$\begin{align} |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon &\Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\epsilon \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{a}|\geq\frac{\epsilon\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \\ &\Rightarrow |(\sqrt{x}-\sqrt{a})(\sqrt{x}+\sqrt{a})|\geq\epsilon\sqrt{a}\Rightarrow |x-a|\geq\epsilon\sqrt{a}. \end{align}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

δ = ϵ \sqrt{a}

$\delta=\epsilon\sqrt{a}$

Pr (| \sqrt{X_{n}} - \sqrt{a} | \geq ϵ) \leq Pr (| X_{n} - a | \geq δ) \to 0,

$\Pr(|\sqrt{X_n}-\sqrt{a}|\geq\epsilon)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$

n \to \infty

$n\to\infty$

\sqrt{X_{n}} \overset{Pr}{\to} \sqrt{a}

$\sqrt{X_n}\stackrel{\Pr}\to\sqrt{a}$

두 번째 부분의 경우 을 다시 가져 와서 Huber의 답변 (이것은 핵심 단계입니다 ;-)에서 속임수를 사용하여 이제 이 문장 의 반대말 은 $x,a,\epsilon>0$

δ = min {\frac{a ϵ}{1 + ϵ}, \frac{a ϵ}{1 - ϵ}} .

$\delta = \min\left\{ \frac{a\epsilon}{1+\epsilon},\frac{a\epsilon}{1-\epsilon}\right\}.$

\begin{aligned} | x - a | < δ & \Rightarrow a - δ < x < a + δ \Rightarrow a - \frac{a ϵ}{1 + ϵ} < x < a + \frac{a ϵ}{1 - ϵ} \\ \Rightarrow \frac{a}{1 + ϵ} < x < \frac{a}{1 - ϵ} \Rightarrow 1 - ϵ < \frac{a}{x} < 1 + ϵ \Rightarrow | \frac{a}{x} - 1 | < ϵ . \end{aligned}

$\begin{align} |x-a|<\delta &\Rightarrow a-\delta<x<a+\delta \Rightarrow a - \frac{a\epsilon}{1+\epsilon} < x < a + \frac{a\epsilon}{1-\epsilon} \\ &\Rightarrow \frac{a}{1+\epsilon} < x < \frac{a}{1-\epsilon} \Rightarrow 1-\epsilon<\frac{a}{x}<1+\epsilon \Rightarrow \left| \frac{a}{x}-1\right|<\epsilon. \end{align}$

| \frac{a}{x} - 1 | \geq ϵ \Rightarrow | x - a | \geq δ .

$\left| \frac{a}{x}-1\right|\geq\epsilon \Rightarrow |x-a|\geq\delta.$

따라서 경우 , 그 의미 .

Pr (| \frac{a}{X_{n}} - 1 | \geq ϵ) \leq Pr (| X_{n} - a | \geq δ) \to 0,

$\Pr\!\left(\left|\frac{a}{X_n}-1\right|\geq\epsilon\right)\leq\Pr(|X_n-a|\geq\delta)\to 0,$

n \to \infty

$n\to\infty$

\frac{a}{X_{n}} \overset{Pr}{\to} 1

$\frac{a}{X_n}\stackrel{\Pr}\to 1$

참고 : 두 항목 모두보다 일반적인 결과의 결과입니다. 첫 번째의 모든 보조 정리 기억 경우에만있는 경우 서브에 대한 서브 순서가 등이 거의 확실 할 때 . 또한, 그 실제 분석에서 기억 한계 지점에서 연속 의 모든 시퀀스 경우에만 경우 에서 은 그 보유 의미 . 따라서 라면 $X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$ $\{n_i\}\subset\mathbb{N}$ $\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$ $X_{n_{i_j}}\to X$ $j\to\infty$ $g:A\to\mathbb{R}$ $x$ $A$ $\{x_n\}$ $A$ $x_n\to x$ $g(x_n)\to g(x)$ $g$ 연속적이고 거의 확실하게 그리고 그 다음 는 거의 확실하게한다. 또, 연속 인 및 , 우리는 임의의 시퀀스를 선택하는 경우 하고, 표제어를 이용하여 시퀀스가 등이 거의 확실 할 때 . 그러나 우리가 보았 듯이 때 $X_n\to X$

Pr (lim_{n \to \infty} g (X_{n}) = g (X)) \geq Pr (lim_{x \to \infty} X_{n} = X) = 1,

$\Pr\!\left(\lim_{n\to\infty}g(X_n)=g(X)\right)\geq\Pr\!\left(\lim_{x\to\infty}X_n=X\right)=1,$

g (X_{n}) \to g (X)

$g(X_n)\to g(X)$

g

$g$

X_{n} \overset{Pr}{\to} X

$X_n\stackrel{\Pr}{\to}X$

{n_{i}} \subset N

$\{n_i\}\subset\mathbb{N}$

{n_{i_{j}}} \subset {n_{i}}

$\{n_{i_j}\}\subset\{n_i\}$

X_{n_{i_{j}}} \to X

$X_{n_{i_j}}\to X$

j \to \infty

$j\to\infty$

g (X_{n_{i_{j}}}) \to g (X)

$g(X_{n_{i_j}})\to g(X)$

j \to \infty

$j\to\infty$ . 이 인수는 다른 방향으로 Lemma를 사용하여 모든 하위 시퀀스 에 대해 유지되므로 입니다. 따라서 질문에 대답하기 위해 대해 연속 함수 및 하고이 결과를 적용하면됩니다.

{n_{i}} \subset N

$\{n_i\}\subset\mathbb{N}$

g (X_{n}) \overset{Pr}{\to} g (X)

$g(X_n)\stackrel{\Pr}{\to}g(X)$

g (x) = \sqrt{x}

$g(x)=\sqrt{x}$

h (x) = a / x

$h(x)=a/x$

x > 0

$x>0$

— 선
소스

젠은 대답 해 주셔서 감사합니다. 이것은 매우 분명했다!

— Savage Henry