따라서이 질문은 약간 지저분하지만 화려한 그래프를 포함시켜 그 내용을 보완합니다! 먼저 배경과 질문.

배경

개 범주에 대해 동일한 probailites를 가진 차원 다항 분포 를 가지고 있다고 가정 해 봅시다 . 하자 정규화 계수 (BE 하다 분포가) : $n$ $n$ $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$ $c$

(c_{1}, \dots, c_{n}) \sim Multinomial (1 / n, \dots, 1 / n) π_{i} = \frac{c_{i}}{n}

$(c_1, \ldots, c_n) \sim \text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n) \\ \pi_i = {c_i \over n}$

이제 를 통한 배포 는 -simplex를 지원 하지만 개별 단계를 지원 합니다. 예를 들어, 경우이 분포는 다음과 같은 지원 (빨간색 점)을 갖습니다. $\pi$ $n$ $n = 3$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

유사한 지원을 갖는 다른 분포는 차원 분포, 즉 단위 심플 렉스에 대한 균일 분포입니다. 예를 들어 다음은 3 차원 에서 무작위로 추출한 것입니다 . $n$ $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ $\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

이제 분포 에서 분포를 를 별도의 지원으로 분리합니다 . 내가 생각했던 이산화 (그리고 잘 작동하는 것 같음)는 심플 렉스의 각 지점을 가져 와서 지원하는 가장 가까운 지점으로 "반올림"하는 것 입니다. 3 차원 심플 렉스의 경우 각 색상 영역의 점이 가장 가까운 빨간색 점으로 "반올림"되어야하는 다음 파티션을 얻습니다. $\pi$ $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$ $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ $\pi$ $\pi$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

Dirichlet 분포가 균일하기 때문에 각 점에 대한 결과 밀도 / 확률은 각 점에 "반올림"되는 면적 / 볼륨에 비례합니다. 2 차원 및 3 차원 경우에 대해 이러한 확률은 다음과 같습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오 ( 이 확률은 Monte Carlo 시뮬레이션에서 온 것입니다 )

따라서 적어도 2 차원과 3 차원의 경우이 방식으로 을 이산함으로써 발생 하는 확률 분포는 의 확률 분포와 같습니다 . 이는 분포 의 정규화 된 결과입니다 . 나는 또한 4 차원으로 시도했지만 거기에서 효과가있는 것 같습니다. $\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$ $\pi$ $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

질문

그래서 내 주요 질문은 :

이러한 특정 방식으로 균일 한 Dirichlet을 분리 할 때 과의 관계가 추가 차원을 유지합니까? 관계가 전혀 유지됩니까? (Monte Carlo 시뮬레이션을 사용하여 이것을 시도했습니다 ...) $\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

또한 궁금합니다.

이 관계가 유지되면 알려진 결과입니까? 그리고 내가 인용 할 수있는 출처가 있습니까?
균일 한 Dirichlet의 이산화가 다항식과 관련이없는 경우. 비슷한 구조가 있습니까?

일부 상황

이 질문을하는 나의 이유는 비모수 적 부트 스트랩과 베이지안 부트 스트랩의 유사점을보고 있다는 것입니다. 또한 위의 3 차원 심플 렉스의 색상이 지정된 영역의 패턴이 보로 노이 다이어그램과 같은 모양이어야합니다. 이것에 대해 생각할 수있는 한 가지 방법 (Pascal의 Triangle / Simpex ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ))이 생각납니다. 컬러 영역의 크기가 2 차원 경우 파스칼 삼각형의 2 행, 3 차원 경우 파스칼 4 면체의 3 행을 따릅니다. 이것은 다항 분포와의 관계를 설명하지만 여기서는 정말 깊은 물 속에 있습니다 ...

— 라스무스 보아스
소스

장난! (평소대로)하지만 양말 연결이 그리워요.

— Xi'an

글쎄, 나는 양말로 교체를 시작했다. 그러나 나는 베이지안 부 스트랩에 대해 생각하기 시작했습니다. 한 가지는 다른 것으로 이어졌고, 이것이 내가 여기서 끝낸 방식입니다.)

— Rasmus Bååth

@ Xi'an 어쩌면 베이지 색 마스코트가되어야하는 강아지보다는 양말일까요?

— Tim

이 두 분포는 마다 다릅니다 . $n \geq 4$

표기법

격자 점은 정수 좌표를 갖도록 인수 심플 렉스의 크기를 조정합니다 . 이것은 아무것도 변경하지 않으며, 표기법을 조금 덜 성가신 것으로 생각합니다. $n$

에서 점 , ..., 의 볼록 껍질로 주어진 -simplex 라고 합시다 . . 다시 말해, 이것은 모든 좌표가 음이 아닌 점과 좌표의 합이 지점 입니다. $S$ $(n-1)$ $(n,0,\ldots,0)$ $(0,\ldots,0,n)$ $\mathbb R^{n}$ $n$

하자 세트 나타내는 격자 점 IE에서 해당 점 모든 좌표가 일체형이다. $\Lambda$ $S$

경우 격자 점, 우리하자 그 나타낸다 보로 노이 셀 에 해당 지점으로 정의 어느이다 (엄밀) 가까이에 의 다른 포인트보다 . $P$ $V_P$ $S$ $P$ $\Lambda$

에 두 가지 확률 분포를 넣을 수 있습니다 . 하나는 다항식 분포이며 점 은 확률이 입니다. 다른 하나는 Dirichlet 모델 이라고하며 , 각 에 의 부피에 비례하는 확률을 할당합니다 . $\Lambda$ $(a_1, ..., a_n)$ $2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$ $P \in \Lambda$ $V_P$

매우 비공식적 인 정당성

다항식 모델과 Dirichlet 모델은 일 때마다 에 대해 다른 분포를 제공한다고 주장합니다 . $\Lambda$ $n \geq 4$

이를 확인하려면 대소 문자 및 점 및 . 와 는 벡터 의한 변환을 통해 합동 한다고 주장합니다 . 이는 와 의 부피가 동일하므로 Dirichlet 모델에서 와 의 확률이 같습니다. 반면, 다항식 모델에서는 확률이 서로 다릅니다 ( 및 ). 분포가 같을 수 없습니다. $n=4$ $A = (2,2,0,0)$ $B=(3,1,0,0)$ $V_A$ $V_B$ $(1,-1,0,0)$ $V_A$ $V_B$ $A$ $B$ $2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$ $2^{-4} \cdot 4!/3!$

와 가 하다는 사실 은 다음의 그럴듯하지만 명백하지 않은 (그리고 다소 모호한) 주장에서 됩니다. $V_A$ $V_B$

개연성 제 : 형상 및 크기 전용의 "바로 이웃"에 의해 영향을 (즉, 해당 포인트에서 다를 벡터로 같은 모양 , 여기서 과 다른 장소에있을 수 있음) $V_P$ $P$ $\Lambda$ $P$ $(1,-1,0,\ldots,0)$ $1$ $-1$

와 의 "즉시 이웃"의 구성이 동일하다는 것을 알 수 , 와 가 합치합니다. $A$ $B$ $V_A$ $V_B$

경우 , 우리가 동일한 게임을 플레이 할 수 및 예를 들어 . $n \geq 5$ $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$ $B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

나는이 주장이 완전히 명백하다고 생각하지 않으며, 약간 다른 전략 대신에 그것을 증명하지 않을 것이다. 그러나 이것이 대한 분포가 다른 이유에 대한보다 직관적 인 답변이라고 생각합니다 . $n \geq 4$

엄격한 증거

위의 비공식적 정당성에서 와 같이 와 를 취하십시오 . 와 가 하다는 것을 증명하면 됩니다. $A$ $B$ $V_A$ $V_B$

감안 , 우리는를 정의한다 다음과 같이 점의 집합 인 ,되는 . (더 소화하기 방식으로 : . 는 최고 와 최저 차이가 1보다 작은 지점 세트입니다 .) $P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$ $W_P$ $W_P$ $(x_1, \ldots, x_n) \in S$ $\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$ $v_i = a_i - p_i$ $W_P$ $v_i$

우리는 것을 보여줍니다 . $V_P = W_P$

1 단계

클레임 : . $V_P \subseteq W_P$

이것은 매우 간단합니다 : 그 가정 하지 않을 . 하자 하고, (일반성의 손실없이) 가정이 , . 부터 , 우리는 또한 알고 . $X = (x_1, \ldots, x_n)$ $W_P$ $v_i = x_i - p_i$ $v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$ $v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$ $v_1 - v_2 \geq 1$ $\sum_{i=1}^n v_i = 0$ $v_1 > 0 > v_2$

이제 . 이후 및 음이 아닌 좌표가 모두 그렇게 , 그리고 그 다음 따라서 그리고 . 한편, 입니다. 따라서 는 와 최소한 가깝기 때문에 . 이것은 를 보완 합니다. $Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$ $P$ $X$ $Q$ $Q \in S$ $Q \in \Lambda$ $\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$ $X$ $Q$ $P$ $X \not\in V_P$ $V_p \subseteq W_P$

2 단계

주장 : 는 쌍으로 분리되어 있습니다. $W_P$

그렇지 않다고 가정하십시오. 하자 및 에서 별개의 포인트 수 및하자 . 이후 와 에서 뚜렷하고 모두 ,이 있어야 하나 개의 인덱스 여기서 , 한 곳 . 일반성을 잃지 않으면 서 및 가정합니다 . 재정렬하고 합하면 됩니다. $P=(p_1,\ldots, p_n)$ $Q = (q_1,\ldots,q_n)$ $\Lambda$ $X \in W_P \cap W_Q$ $P$ $Q$ $\Lambda$ $i$ $p_i \geq q_i + 1$ $p_i \leq q_i - 1$ $p_1 \geq q_1 + 1$ $p_2 \leq q_2 - 1$ $q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$

이제 숫자 과 고려하십시오 . 사실 그에서 우리가 . 마찬가지로 는 임을 의미합니다 . 이것들을 합하면 가되고 모순이 . $x_1$ $x_2$ $X \in W_P$ $x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$ $X \in W_Q$ $x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$ $q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$

3 단계

우리는 이고 는 분리 되어 있음을 보여 . 커버 계수 제로 세트에 근접하고 그 다음 (제로 계수들의 세트까지). [ 와 가 둘 다 열려 있기 때문에 실제로 정확히 갖지만 필수는 아닙니다.] $V_P \subseteq W_P$ $W_P$ $V_P$ $S$ $W_P = V_P$ $W_P$ $V_P$ $W_P = V_P$

이제 거의 끝났습니다. 점 및 . 와 가 이고 서로 번역되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 차이가 될 수있는 유일한 방법은 의 경계 ( 와 가있는 얼굴 이외의 얼굴 )가``잘리는 ''것입니다 하나 또는 그러나 다른 없습니다. 그러나 경계의 이러한 부분에 도달 하려면 또는 의 하나의 좌표 를 적어도 1만큼 변경해야 에서 $A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$ $B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$ $W_A$ $W_B$ $S$ $A$ $B$ $W_A$ $W_B$ $S$ $A$ $B$ $W_A$ 및 어쨌든. 따라서, 비록 유리한 점에서 보면 서로 다른 작업을 수행 와 의 차이의 정의에 의해 픽업되기에 너무 멀리 떨어져 및 , 따라서 및 합동이다. $W_B$ $S$ $A$ $B$ $W_A$ $W_B$ $W_A$ $W_B$

이 것을 다음 다음 및 그들이 다항 모델에서 서로 다른 확률에도 불구하고, 동일한 볼륨, 따라서 디리클레 모델 양수인들에게 동일한 확률을 가지고있다. $V_A$ $V_B$

— ZH 리우
소스

와우 감사! 그래서 실수로 I 추측이었다 기대했다 약간의 대응 ...

— 라스무스 바트

다항식 (1 / n,…, 1 / n)을 이산화 Dirichlet (1, .., 1)으로 특성화 할 수 있습니까?

배경

질문

일부 상황

표기법

매우 비공식적 인 정당성

엄격한 증거

1 단계

2 단계

3 단계