여전히 동일한 패밀리의 구성원 인 두 개의 비정규 비선형의 선형 조합

2 개의 랜덤 정규 변수의 선형 조합도 랜덤 정규 변수라는 것은 잘 알려져있다. 이 속성을 공유하는 일반적인 비정규 배포 패밀리 (예 : Weibull)가 있습니까? 많은 반례가있는 것 같습니다. 예를 들어, 유니폼의 선형 조합은 일반적으로 균일하지 않습니다. 특히, 다음 두 가지 모두에 해당하는 비정규 배포 패밀리가 있습니까?

해당 패밀리의 두 랜덤 변수의 선형 조합은 해당 패밀리의 일부 분포와 같습니다.
결과 매개 변수는 원래 매개 변수와 선형 조합의 상수의 함수로 식별 할 수 있습니다.

이 선형 조합에 특히 관심이 있습니다.

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

어디 $X_1$ 과 $X_2$ 매개 변수와 함께 비정규 패밀리에서 샘플링 됨 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ , $Y$ 매개 변수가있는 동일한 비정규 패밀리에서 나옴 $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$ .

단순성을 위해 매개 변수가 1 인 분포 패밀리를 설명하고 있지만 여러 매개 변수가있는 분포 패밀리를 사용할 수 있습니다.

또한 매개 변수 공간이 충분한 예를 찾고 있습니다. $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 시뮬레이션 목적으로 작업합니다. 매우 구체적인 예제를 찾을 수 있다면 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 별로 도움이되지 않습니다.

distributions linear

— 앤서니
소스

감사. 나는 보통 비정규 가족 (예 : Weibull)을 찾고 있습니다. 또한 결과 매개 변수는 다양한 원본 매개 변수에 대한 원래 매개 변수의 함수 여야한다는 점을 분명히하려고합니다. 즉, 시뮬레이션 목적으로 사용할 매개 변수 공간이 충분해야합니다.

— 앤서니

독립적 인 랜덤 변수 의 임의 선형 조합에 대해 이야기하고 있다고 가정하면 (Lévy) 안정적인 분포가 있습니다. 이러한 분포의 전체 클래스는 특정 형태를 취하는 특징적인 기능으로 완전히 특징 지어집니다. 일부 소수만이 알려진 폐쇄 형 표현의 밀도를 가지고 있습니다.

— 추기경

@cardinal이 언급 한 알파 안정은 대답이며, 올바르게 이해하면 매개 변수가 위치 및 스케일이어야하는 경우 유일한 대답이지만 매개 변수가 위치 + 척도가 필요하지 않은 경우 다른 대답이 있습니까? (이것이 OP가 원했던 것과는 거리가 멀지 만 이것은 별도의 질문이어야합니다).

— Juho Kokkala

매개 변수가 위치와 스케일이 아니더라도 답변에 관심이 있습니다.

— Anthony

@ Juho 나는 대답이 일반적이라고 믿습니다. 분포의 합은 누적 함수 생성 (특성 함수의 로그로 정의 됨)의 (포인트 별) 합에 해당하므로 합산시 분포 세트의 폐쇄는 (실제) 선형 조합 인 모든 분포 세트 내에 자연스럽게 포함됩니다. 그 cgf의.

— whuber

답변:

2 개의 랜덤 정규 변수의 선형 조합도 랜덤 정규 변수라는 것은 잘 알려져있다. 이 속성을 공유하는 일반적인 비정규 배포 패밀리 (예 : Weibull)가 있습니까?

정규 분포는 훌륭한 컨볼 루션 아이덴티티를 충족시킵니다. $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$ . 예를 들어 중심 한계 정리를 참조하는 경우, 같은 모양 계수를 가진 감마 분포는 해당 특성을 공유하고 감마 분포로 전개됩니다. 중앙 한계 정리의 호출에 관한주의 사항을 참조하십시오 . 그러나 일반적으로 모양 계수가 같지 않으면 감마 분포는 감마 분포가 아닌 컨볼 루션에 의해 "가산"되며, 식 1에서 볼 수 있듯이 첫 번째 종류의 초 지오메트리 함수를 곱하는 감마 함수가됩니다. (2) 두 감마 분포 의 컨볼 루션 . 비 관련 공정의 혼합물 분포를 형성하는 첨가에 대한 다른 정의는, 예를 들어, 수단이 상이 할 경우 반드시 어떠한 중심 한계도 나타내지 않을 것이다.

다른 예가있을 수 있습니다. 철저한 검색을 수행하지 않았습니다. 컨벌루션 클로저는 아직 멀지 않은 것 같습니다. 선형 조합의 경우 Pearson VII와 Pearson VII의 곱은 또 다른 Pearson VII 입니다.

— 칼
소스

동일한 스케일 파라미터로 독립 감마 랜덤 변수를 추가하고 동일한 스케일 파라미터로 다른 감마를 얻을 수 있지만 임의의 선형 조합을 취할 수는 없습니다. 합계를 사용할 수 있지만 임의의 선형 조합은 할 수없고 해당 패밀리 내에 머무를 수있는 잘 알려진 분포가 많이 있습니다. (동일한 오류를 만드는 삭제 된 답변이 이미 있습니다.)

— Glen_b-복지국 Monica

두 감마 분포 의 컨벌루션 은 Eq. 2, 감마 분포가 아닌 다른 것을 산출합니다.

— Carl

이 기사는 감마의 선형 조합은 감마가 아니며 (이미 언급 한 것과 동일한 예외는 제외하고) 내가 말한 것과 완전히 일치하는 것으로 보입니다. 나는 당신이 나에게 무엇을 요구하고 있는지 잘 모르겠지만, 기사는 당신의 대답이 그렇지 않은 것을 주장하는 것처럼 보입니다.

— Glen_b-복지국 모니카

묻지 말고, 합계가 무엇인지 말하십시오. 나는 "일부"라고 대답을 수정했습니다. 그것이 충분하지 않은 경우, 나는 겸손한 도움의 노력을 삭제합니다. 그리고 나는 "충분히 좋습니까, 그렇지 않습니까?"라고 묻습니다.

— Carl

이제 답을 위해 약간 빛이났습니다. 당신은 (내가 적절한 참조를 포함하는 것입니다 불구하고, 적어도 신문과의 링크에 무엇에 관한 정보) 대답에 귀하의 코멘트부터 일부 정보를 이동 할 수 있습니다

— Glen_b -Reinstate 모니카

2 개의 랜덤 정규 변수의 선형 조합도 랜덤 정규 변수라는 것은 잘 알려져있다. 이 속성을 공유하는 일반적인 비정규 배포 패밀리 (예 : Weibull)가 있습니까?

나는 당신이 Levy-stable distributions 의 클래스를 찾고있는 것처럼 들립니다 . 이 수업입니다 $\mathscr{P}$ 모든 분포 중 $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$ 안정성 특성을 만족시키는

{엑스}_{1}, {엑스}_{2}, {엑스}_{삼} \sim IID 피 ⟹ (\forall ㅏ) (\forall 비) (\exists 씨 > 0) (\exists 디) : ㅏ {엑스}_{1} + 비 {엑스}_{2} \overset{디스트}{\sim} 씨 {엑스}_{삼} + 디 .

$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$

즉,이 클래스의 모든 분포에 대해 해당 분포를 갖는 두 개의 독립적 인 랜덤 변수의 선형 함수를 취하면 분포가있는 단일 랜덤 변수의 아핀 함수와 같은 분포를 갖습니다. (이 안정성 요구 사항은 설정하여 강화할 수 있습니다 $d=0$ 이는 매우 안정적인 분포 의 하위 클래스를 제공합니다 .)

레비-안정 분포는 그 자체로 분포의 패밀리로 간주 될 수 있으며, 이러한 의미에서이 정의를 갖는 모든 분포를 포함하기 때문에이 안정성 특성을 갖는 유일한 분포 패밀리입니다. 정규 분포는 Cauchy 분포 , Landau 분포 및 Holtsmark 분포 와 마찬가지로 Levy-stable 분포에 속합니다 .

— 벤-복원 모니카
소스