분포는 정확히 무엇입니까?

나는 확률과 통계에 대해 거의 알지 못하고 배우고 싶습니다. 나는 "배포"라는 단어가 다른 상황에서 사방에 사용 된 것을 본다.

예를 들어, 이산 랜덤 변수에는 "확률 분포"가 있습니다. 나는 이것이 무엇인지 안다. 연속 확률 변수는 들어, 확률 밀도 함수를 갖는 적분에서 에 확률 밀도 함수에서 평가 누적 분포 함수이고 .$x\in\mathbb{R}$$-\infty$$x$$x$

그리고 분명히 "분포 함수"는 적어도 연속적인 랜덤 변수에 대해 이야기 할 때 "누적 분포 함수"와 동의어입니다 (질문 : 항상 동의어입니까?).

그런 다음 많은 유명한 배포판이 있습니다. 분포 분포 등. 그러나 분포 는 정확히 무엇 입니까? 랜덤 변수 의 누적 분포 함수 입니까? 또는 랜덤 변수 의 확률 밀도 함수 ?$\Gamma$$\chi^2$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

그러나 유한 데이터 세트의 빈도 분포는 히스토그램 인 것으로 보입니다.

간단히 말해 : 확률과 통계에서 "분포"라는 단어의 정의는 무엇입니까?

나는 수학 (유도 한계 토폴로지를 갖춘 테스트 기능 모음의 이중 공간 요소)에서의 분포 정의를 알고 있지만 확률 및 통계는 알고 있지 않습니다.

다음은위한 가치 랜덤 변수. 다른 공간으로의 확장은 관심이 있다면 간단합니다. 밀도, 질량 및 누적 분포 함수를 개별적으로 고려하는 것보다 약간 더 일반적인 다음 정의가 더 직관적이라고 주장합니다.$\mathbb R-$

텍스트에 올바른 수학적 / 확률 적 용어를 포함 시켰습니다. 만약 그 용어에 익숙하지 않다면, "Borel sets"를 " 생각할 수 있는 부분 집합"으로 생각하고, 임의의 변수를 관련 확률.$\mathbb R$

하자 확률 공간이 될 X ( ω ) R - 이 공간에 임의의 변수를 평가.$\left( \Omega, \mathcal F, P \right)$$X(\omega)$$\mathbb R-$

내용물 함수 여기서, A는 의 보렐 집합이다라고 분포 X .$Q(A):=P\left(\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\right)$$A$$X$

즉, 분포는 하위 집합에 대해 X 가 해당 집합의 값을 취할 확률을 알려줍니다 . Q 가 함수 F ( x ) : = P ( X ≤ x )에 의해 완전히 결정 되고 그 반대의 경우도 Q 가 완전히 결정됨을 증명할 수 있습니다 . 그렇게하려면 - 나는 여기에 세부 사항을 생략 - 확률 할당 보렐 세트에 측정을 구성 F ( X를 ) 모든 세트에 ( - ∞ , X ) 이 유한 조치에 동의한다고 주장 Q A의$\mathbb R$$X$$Q$$F(x):=P(X\leq x)$$F(x)$$(-\infty, x)$$Q$ 보렐를 생성하는 시스템은 σ - 대수학.$\pi-$$\sigma-$

그렇게하는 것이 발생하면 로서 기록 될 수 Q ( ) = ∫ F ( X ) (D) X 후 f를 위한 밀도 함수이고 Q가 이 밀도 의적 결정되지 않지만 및 보시 (의 변경을 고려 베그 측정 제로)의 세트는 또한 말할 것도 의미한다 F 의 분포 X를 . 그러나 일반적으로 X 의 확률 밀도 함수라고합니다 .$Q(A)$$Q(A) =\int_Af(x)dx$$f$$Q$$f$$X$$X$

마찬가지로, 그래서 생기면 로 기록 될 수 Q ( ) = Σ I ∈ ∩ { ... , - 1 , 0 , 1 , ... } (F)는 ( 나 ) , 그 때의 이야기하는 말이 F 우리는 보통 그것을 확률 질량 함수라고 부르지 만 X 의 분포로 .$Q(A)$$Q(A)=\sum_{i\in A\cap\{\dots,-1,0,1,\dots\}}f(i)$$f$$X$

따라서 " 가 [ 0 , 1 ] 에서 균일 분포를 따른다 "와 같은 것을 읽을 때마다 X 가 특정 세트에서 값을 취할 확률을 알려주 는 함수 Q ( A ) 는 확률 밀도 함수 f ( x ) = I [ 0 , 1 ] 또는 누적 분포 함수 F ( x ) = ∫ x − ∞ f ( t $X$$[0,1]$$Q(A)$$X$$f(x)=I_{[0,1]}$ .$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$

랜덤 변수에 대한 언급이없고 분포 만있는 경우에 대한 마지막 참고 사항. 분포 함수 (또는 질량, 밀도 또는 누적 분포 함수)가 주어지면이 분포를 갖는 랜덤 변수를 갖는 확률 공간이 존재 함을 증명할 수 있습니다. 따라서 분포에 대해 말하거나 분포가있는 랜덤 변수에 대해서는 본질적으로 차이가 없습니다. 그것은 단지 초점의 문제입니다.

하자 하자 확률 공간 수 ( X , B를 ) 측정 가능한 공간, 그리고하자 X : Ω → X 가 수 측정 기능 수단 X - 1 ( B ) = { ω : X ( ω ) ∈ B } ∈ F 모든 대 B ∈ B . X 의 분포 는 확률 측정 $(\Omega,\mathscr{F},P)$$(\mathscr{X},\mathscr{B})$$X:\Omega\to\mathscr{X}$$X^{-1}(B)=\{\omega:X(\omega)\in B\}\in\mathscr{F}$$B\in\mathscr{B}$ $X$ 이상 ( X , B ) 에 의해 정의 μ X ( B ) = P ( X ∈ B ) . 경우 X = R 과 B가 보렐 시그마 - 필드, 우리는 함수 참조 X 랜덤 "변수"로.$\mu_X$$(\mathscr{X},\mathscr{B})$$\mu_X(B)=P(X\in B)$$\mathscr{X}=\mathbb{R}$$\mathscr{B}$$X$

지금까지의 질문과 답변은 이론적 분포에 초점을 둔 것으로 보입니다. 경험적 분포는 분포에 대한보다 직관적 인 이해를 제공합니다.

예

줄넘기를하는 클래스 토너먼트 동안, 줄넘기를하는 모든 아이들을 관찰합니다. 첫 번째 아이는 두 번, 두 번째 네 번, 다음 한 번에 15 번 뛸 수 있습니다. 우리는 점프 횟수를 기록합니다. 아이들 중 5 명은 각각 8 번 뛰었지만 한 명만 2 번 뛰었습니다. 우리는 8 번 점프하는 것이 두 번 점프하는 것과는 다르게 분포되어 있다고 말합니다.

관측 된 분포에 대한 표면적 정의는 변수의 각 관측 값에 대한 발생 빈도입니다.

추론 통계에서는 이론적 분포를 가정하여 이론적 분포를 관측 된 분포에 맞추려고합니다. "관측"을 "관측 가능"으로 바꾸거나보다 정확하게 "예상 됨"으로 이론적 분포에 대한 유사한 정의에 도달 할 수 있습니다.