법선을

과 이라고하자 . $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

경우 및 독립적으로 다음 분포 변수 다음 자유도를 가진 분포 . $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

이 사실에 대한 증거를 찾고 있습니다. 완전한 인수를 쓰지 않으려면 참조가 충분합니다.

probability distributions references

— 모노 라이트
소스

이것은 공식적으로 stats.stackexchange.com/questions/52906 에서 설명됩니다 . 비율은 적분으로 쓰여질 때 가우시안의 혼합으로 보이며, 데모는 혼합물이 분포하고 있음을 보여줍니다.

— whuber

일부 교과서에서 이것은 t- 분포의 정의입니다. 증명할 필요가 없습니다. 그러나 그러한 정의가 주어진 PDF를 얻는 방법은 유효한 질문입니다.

— mpiktas

답변:

허락하다 $Y$ 카이-제곱 랜덤 변수 $n$ 자유도. 그런 다음 제곱근 $Y$ , $\sqrt Y\equiv \hat Y$ A와 배포 카이 유통 과 $n$ 밀도가있는 자유도

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{y}) = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} {\hat{y}}^{n - 1} \exp {- \frac{{\hat{y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

밝히다 $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ . 그때 $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$ 변수 변경 공식을 통해

f_{X} (x) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{n} x) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial X} | = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} (\sqrt{n} x)^{n - 1} \exp {- \frac{(\sqrt{n} x)^{2}}{2}} \sqrt{n}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

허락하다 $Z$ 이전 변수와 독립적 인 표준 정규 랜덤 변수이고 랜덤 변수를 정의합니다.

T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} = \frac{Z}{X}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ .

두 개의 독립적 인 랜덤 변수 비율의 밀도 함수에 대한 표준 공식에 따르면,

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

그러나 $f_X(x) = 0$ 간격 동안 $[-\infty, 0]$ 때문에 $X$ 음이 아닌 rv이므로 절대 값을 제거하고 적분을

f_{T} (t) = \int_{0}^{\infty} x f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{(x t)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} d x

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) x^{2}} d x \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

integrand in $(3)$ 결국 감마 밀도 함수로 변환 될 것으로 보입니다. 적분의 한계는 정확하므로 한계를 변경하지 않고 정수를 감마 밀도 함수가되도록 조작해야합니다. 변수 정의

m \equiv x^{2} \Rightarrow d m = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{d m}{2 x}, x = m^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ 우리가 가진 정수로 대체하기

\begin{matrix} (4) & I_{3} = \int_{0}^{\infty} x^{n} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} \frac{d m}{2 x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} m^{\frac{n - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} (n + t^{2}) m} d m \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

감마 밀도를 쓸 수 있습니다

G a m m a (m; k, θ) = \frac{m^{k - 1} \exp {- \frac{m}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

일치하는 계수, 우리는

k - 1 = \frac{n - 1}{2} \Rightarrow k^{*} = \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (n + t^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(n + t^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

이 값들에 대해 $k^*$ 과 $\theta^*$ 변수와 관련된 정수의 용어는 감마 밀도의 핵심입니다. 그래서 우리가 정수를 나누면 $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$ 적분 외부에 동일한 크기를 곱하면 적분은 감마 분포가됩니다. 기능과 동일합니다. 따라서 우리는 도착했습니다

I_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{k^{*}} Γ (k^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{n + t^{2}})^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) = 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

위의 내용을 eq. $(3)$ 우리는 얻는다

f_{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(n + 1) / 2]}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... 이것은 스튜던트 t- 분포의 (밀도 함수)라고 불리는 것입니다. $n$ 자유도.

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

ES Pearson은 그것을 좋아하지 않았지만 Fisher의 원래 주장은 기하학적이고 단순하며 설득력 있고 엄격했습니다. 그것은 직관적이고 쉽게 확립 된 소수의 사실에 의존합니다. 그들은 때 쉽게 시각화 $s=1$ 또는 $s=2$ 형상을 2 차원 또는 3 차원으로 시각화 할 수 있습니다. 실제로는 원통형 좌표를 사용하여 $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ 분석하기 $s+1$ iid 일반 변수.

$s+1$ 독립적이고 동일하게 분포 된 정규 변량 $X_1, \ldots, X_{s+1}$ 구형 대칭입니다. 이는 점의 방사상 투영 $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ 단위 구체에 $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ 갖는 균일 에 분포 $S^s$ .
ㅏ $\chi^2(s)$ 분포는 제곱의 합입니다 $s$ 독립 표준 정규 변량.
따라서 설정 $Z=X_{s+1}$ 과 $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ , 비율 $Z/\sqrt{W}$ 위도의 접선 $\theta$ 요점 $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ 에 $\mathbb{R}^{s+1}$ .
$\tan\theta$ 에 방사상 투영에 의해 변경되지 않습니다 $S^s$ .
위도의 모든 지점에 의해 결정된 세트 $\theta$ 의 위에 $S^s$ 이다 $s-1$ 반지름의 차원 영역 $\cos \theta$ . 이것의 $s-1$ 따라서 치수 측정은
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
미분 요소는 $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$ .
쓰기 $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ 준다 $\tan\theta = t/\sqrt{s}$ 언제
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ 과 $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ 이 방정식은 함께 $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ 의 요소를 통합 $1/\sqrt{s}$ 정규화 상수로 $C(s)$ 밀도를 보여줍니다 에 비례

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

이것이 학생 t 밀도입니다.

그림은 상반 구 ( $Z \ge 0$ ) 의 $S^s$ 에 $\mathbb{R}^{s+1}$ . 교차 축은 $W$ 초평면. 검은 점은 무작위 샘플의 일부입니다 $s+1$ -변형 표준 정규 분포 : 주어진 위도에 일정하게 투영되는 값입니다. $\theta$ 노란색 밴드로 표시됩니다. 이 점들의 밀도는 $s-1$ 밴드 자체의 입체 볼륨 $S^{s-1}$ 반경 $\theta$ . 해당 밴드 위의 원뿔은 $\tan \theta$ . 최대 계수 $\sqrt{s}$ 와 학생 t 분포 $s$ 자유도는 단위 구의 면적을 정규화 할 때 황색 띠의 측정에 의해 가중되는이 높이의 분포입니다 $S^s$ 통일.

또한 정규화 상수는 $1/\sqrt{s}$ (앞서 언급 한 바와 같이) 시간 상대 구의 부피 ,

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

마지막 표현은, 기존하지만, 약간 명확하게 밝혀 아름답게 간단한 초기 표현, 위장 의미 의를 $C(s)$ .

Fisher는이 파생 내용을 WS Gosset (원본 "학생")에게 편지로 설명했습니다. Gosset은이를 게시하려고 시도하여 Fisher에게 완전히 신용을 제공했지만 Pearson은이 논문을 거부했습니다. 시료 상관 계수의 분포를 찾는 실질적으로 유사하지만 더 어려운 문제에 적용된 Fisher의 방법이 결국 공개되었습니다.

참고 문헌

RA Fisher, 무기한 인구의 표본에서 상관 계수 값의 주파수 분포. Biometrika Vol. 10, No. 4 (1915 년 5 월), 507-521 쪽. 웹 ( https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf)에서 (및이 링크가 사라지면 검색을 통해 다른 여러 곳에서) 사용할 수 있습니다.

조안 피셔 박스, 거셋, 피셔 및 t 분포. 미국 통계 학자 , Vol. 35, No. 2 (1981 년 5 월), 61-66 쪽. 웹 사이트 http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf 에서 사용 가능 .

EL Lehmann, Fisher, Neyman 및 고전 통계 작성. Springer (2011), 2 장.

— 우버
소스

이것은 환상적인 증거입니다! 몇 년이 지났지 만이 메시지를 찾을 수 있기를 진심으로 바랍니다. 이 증명의 6 단계에서 오류가 있다고 생각합니다. Cos ^ -2 (theta) = (1 + tan ^ 2 (theta)), 역수가 아닙니다. 쉬운 해결책이 있습니까?

— Math Enthusiast

@Math 귀하의 의견에 감사드립니다. 6 단계에서 오류를 찾을 수 없습니다. 아마도 "

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$ "(즉

- 2

$-2$ 의 힘

\cos (θ)

$\cos(\theta)$ ) "

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$ "?

— whuber

나는 간단한 정체성을 사용했다

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$ 그것을 추론하기 위해

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$ 6 행에서 이와 같은 추론으로

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$ . 이것은 미분 요소가 같다는 주장과 충돌합니다.

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— Math 매니아

@Math 감사합니다. 물론 그렇습니다. 대수를 수정하기 위해 점 (6)과 (7)을 편집했습니다.

— whuber

휴,이 얼마나 안도감! 즐거운 휴일

— 수학 매니아

변수를 변경하려고합니다. 세트 $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ 과 $X=Z$ 예를 들어. 그래서 $Z=X$ , $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ . 그때 $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ . 어디 $J$ 의 다변량 함수에 대한 야 코비 행렬입니다. $Z$ 과 $W$ 의 $X$ 과 $Y$ . 그런 다음 통합 할 수 있습니다 $x$ 관절 밀도에서. $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ , $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ , $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ , $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ .

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 s X^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

그래서 $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ . 나는 Thomas A. Severini의 Elements of Distribution Theory를 보았습니다. $X=W$ . Gaama 배포판의 속성을 사용하여 사물을 통합하는 것이 더 쉬워집니다. 내가 사용하면 $X=Z$ 아마 사각형을 완성해야 할 것입니다.

그러나 나는 계산을하고 싶지 않습니다.

— ztyh
소스

I did not downvote you, in fact I just upvoted you. But I think maybe the downvote arrived before your edit.

— Monolite

Sorry about that, I will be careful from now on.

— ztyh