참조 : 역 cdf의 꼬리

통계에서 다음 결과를 이미 보았지만 어디에 있는지 기억할 수 없습니다.

경우 $X$ 양의 랜덤 변수이고 $\mathbb{E}(X)<\infty$ 다음 $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ 시 $\varepsilon\to 0^+$ , 여기서 $F$ 의 CDF이다 $X$ .

이것은 등식 를 사용하고 정수 의 곡선 아래 영역의 $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ 에서 수평 절단을 고려 하여 기하학적으로 쉽게 볼 수 있습니다. $\varepsilon$ $1-F$

이 결과에 대한 참조와 이름이 있는지 여부를 알고 있습니까?

— 스테판 로랑
소스

"보다 일반적으로"는 부품별로 통합을 간단하게 적용한 것입니다. 그것은 거의 참조가 필요하지 않습니다!

— whuber

@ whuber 첫 번째 결과에 대한 참조를 요청하고 있습니다.

— Stéphane Laurent

stats.stackexchange.com/questions/18438 에서 보았 거나 적어도 비슷한 것을 보았을 것 입니다. 그 결과는 적분의 대체로 인한 것이기 때문에 다시 기본이되었으므로 문헌에 특별히 언급되거나 특별한 이름이 주어지지는 않을 것입니다.

— whuber

@ whuber 링크에

이 표시 되지 않습니다 . 또한 내가 언급 한 결과는 이산

대해서도 마찬가지입니다 ( 더 일반적인 진술에서

를 시퀀스 로 취하고

을

로 대체함으로써 ). 첫 번째 결과는 일반

경우에도 마찬가지입니다 .

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent

나는 이것이 더 고전적인 용어로 언급되어 있다면 아무런 언급없이 사용할 수 있다고 생각합니다. 대략, 이것은 :

대

로

, 직접적인 결과 중 :

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

및 지배적 인 수렴.

가 단계를 가질 수있는일반적인 경우에(왼쪽 연속) 역

에 대한설명을 얻으려면 약간의 작업이 필요합니다.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— 이브

주석에서 Yves가 제안한 "작은 작업"을 처리하기 위해 기하학은 엄격하고 완전한 일반 증거를 제안합니다.

원하는 경우 영역에 대한 모든 참조를 정수로 대체하고 일반적인 엡실론 델타 인수로 "임의"에 대한 참조를 대체 할 수 있습니다. 번역이 쉽습니다.

사진을 설정하려면, 하자 생존 기능 수 $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

그림은 의 일부를 나타 냅니다. (그래프의 점프에 유의하십시오.이 특정 분포는 연속적이지 않습니다.) 큰 임계 값 가 표시되고 작은 확률 가 선택되었습니다 ( ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

우리는 갈 준비가되었습니다 : 우리가 관심있는 값, (우리가 0으로 수렴하고자하는 것)은 흰색의 면적입니다 높이와 직사각형 베이스에서 을 . 우리가 이용할 수있는 유일한 가정은이 기대가 존재하고 유한하다는 것이므로이 영역을 의 기대와 관련 시키십시오 . $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

양극 부 기대의 (에서 생존 곡선 아래의 면적 인 에 ) $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

때문에 (그 자체가 존재하고 유한을하지 않을 것이다, 그렇지 않으면 기대에 대한) 유한해야합니다, 우리는 선택할 수 아래의 면적 것이 큰 있도록 사이의 과 모든 계정, 또는 거의 모두의 . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

이제 모든 조각이 제자리에 있습니다 : 의 그래프 , 임계 값 , 작은 높이 및 오른쪽 끝점 은 우리가 분석 할 수있는 영역 으로 의 해부를 나타냅니다 . $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

마찬가지로 위에서 제로로 진행하고, 기재와 흰색 사각형의 면적 가 수축 제로는,하기 때문에 일정하게 유지된다. ( 이것이 가 소개 된 이유 입니다.이 데모의 핵심 아이디어입니다. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
파란색 영역에 가깝게 만들 수 있습니다 당신이 좋아 하듯이 적절하게 대형으로 시작하여, 작은 선택 다음과 . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
결과적으로 에서 까지의 흰색 사각형보다 명확하게 남은 영역 은 임의로 작게 만들 수 있습니다. 즉, 빨간색과 금색 부분은 무시하십시오. $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

따라서 우리는 을 두 부분으로 나누고 그 영역은 모두 0으로 수렴합니다. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ 따라서, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— 우버
소스