표본의 CDF가 균일하게 분포 된 이유

여기 에 샘플 가 주어진 것을 읽었습니다 $X_1,X_2,...,X_n$ cdf 를 사용한 연속 분포로부터의 에서, 대응하는 샘플 은 표준 균일 분포를 따른다. $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

파이썬에서 질적 시뮬레이션을 사용하여 이것을 확인했으며 관계를 쉽게 확인할 수있었습니다.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

다음 플롯 결과 :

정규 분포의 표본과 표본의 cdf를 보여주는 그림.

왜 이런 일이 일어나는지 알 수 없습니다. 나는 그것이 CDF의 정의와 관련이 있고 PDF와의 관계와 관련이 있다고 생각하지만, 뭔가 빠졌습니다 ...

누군가가 주제에 대한 독서를 지적하거나 주제에 대한 직관을 얻도록 도울 수 있다면 고맙겠습니다.

편집 : CDF는 다음과 같습니다

표본 분포의 CDF

— 막심 트렘 블레이
소스

의 cdf를 계산합니다 .

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

시뮬레이션에 대한 모든 책에서이 특성 (연속 rv)에 대한 증거를 찾을 수 있습니다. 이는 역 cdf 시뮬레이션 방법의 기초이기 때문입니다.

— 시안

또한 Google-ing 확률 적분 변환을

— Zachary Blumenfeld

@ Xi'an 결론은 연속적인 랜덤 변수에 대해서만 유효하다는 것을 지적하는 것이 좋습니다. 때때로이 결과는 불연속 랜덤 변수에 실수로 사용됩니다. 반면에, 많은 증거가 단계를 포함한다주의

하는 엄격한 단순성 가정

또한 너무 강한 가정이다. 다음 링크는이 주제에 대한 엄격한 요약을 제공합니다. people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@ Zhanxiong

필요한 유일한 조건 은 그것이 càdlàg이라는 것입니다.

F

$F$

— AdamO

가 계속 증가하고 있다고 가정합니다 . 정의 하고 는 값 집니다 . 이어서 $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

반면에 가 값을 취하는 균일 랜덤 변수 인 경우 $U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— 후나 푸
소스

Z가 균일 한 분포 (0, 1)를 따르는가?

— StatsSorceress

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— AdamO
소스

Y = F (X)

$Y = F(X)$