관절 분포가 다변량 정규 인 경우 왜 Pearson의 ρ가 완전한 연관성 측정치입니까?

이 주장은 이 질문 에 대한 최고의 응답으로 제기되었습니다 . 나는 '왜'질문이 새로운 스레드를 보장하기에 충분히 다르다고 생각합니다. 인터넷 검색의 "완전한 연관성 측정"으로 인한 조회수는 없었으며 해당 문구가 무엇을 의미하는지 잘 모르겠습니다.

다변량 분포에서 "연관 측정"을 이해 하여 값을 임의로 크기를 조정하고 최근에 변경했을 때 동일하게 유지되는 모든 속성 으로 구성하는 것이 가장 좋습니다 . 그렇게하면 평균과 분산을 이론적으로 허용 가능한 값으로 변경할 수 있습니다 (분산은 양수 여야하며, 평균은 무엇이든 가능함).

상관 계수 ( "피어슨 $\rho$") 그런 다음 다변량 정규 분포 를 완전히 결정합니다.이를 확인하는 한 가지 방법은 밀도 함수 또는 특성 함수에 대한 공식과 같은 공식 정의를 보는 것입니다. 만 평균, 분산 및 공분산 되지만 공분산 및 상관 관계는 차이를 알면 서로 추론됩니다.

다변량 정규군은이 특성을 즐기는 유일한 분포 군이 아닙니다. 예를 들어, 임의의 다변량 t 분포 (자유도 초과$2$)는 잘 정의 된 상관 관계 행렬을 가지며 처음 두 모멘트에 의해 완전히 결정됩니다.

변형은 Pearson 상관 관계가 완전히 눈에 띄지 않는 방식으로 연관 될 수 있습니다.

다변량 법선에서, Pearson 상관 관계는 가능한 유일한 연관성이$\rho$. 그러나 다른 분포 (정상 마진이있는 분포)의 경우 상관없이 연관 될 수 있습니다. 다음은 3 개의 정규 랜덤 변량 (x, y 및 x, z)에 대한 몇 가지 도표입니다. 그들은 매우 관련이 있습니다 (당신이 나에게 가치를 말하면$x$-변형, 다른 두 가지를 말해 줄 게요 $y$ 나는 당신에게 말할 수 있습니다 $z$)이지만 모두 서로 관련이 없습니다.

관련이 있지만 관련이없는 변형의 또 다른 예는 다음과 같습니다.

(여기서는 데이터를 사용하여 설명하고 있지만 배포에 대한 기본 사항이 제시되고 있습니다.)

변이가 상관되어 있더라도 피어슨 상관 관계는 일반적으로 어떻게 . 동일한 Pearson 상관 관계를 갖는 매우 다른 형태의 연관성을 얻을 수 있습니다 (그러나 변칙이 다변량 정규 인 경우 표준화 된 변이가 얼마나 관련되어 있는지 정확하게 말할 수있는 상관 관계).

따라서 Pearson 상관 관계는 변이가 연관되는 방식을 "고갈"하지 않습니다. 연관성이 있지만 연관성이 없거나 연관성이 있지만 매우 뚜렷한 방식으로 연관 될 수 있습니다. [상관 관계에 의해 완전히 포착되지 않는 다양한 방식이 발생할 수 있지만 그 중 하나가 발생하면 다변량 법선을 가질 수 없습니다. 그러나 내 토론에서 아무것도 이것을 암시하는 것은 아닙니다.$\rho$ 제목 인용 부호가 제안하는 것처럼 보이지만 가능한 연관성을 정의합니다.)

(다변량 연관을 해결하는 일반적인 방법은 copulas를 사용하는 것입니다. copulas와 관련된 많은 질문이 사이트에 있습니다. 일부는 도움이 될 수 있습니다)