고유 한 MVUE 찾기

이 질문은 Robert Hogg의 388 페이지의 수학 통계 6 판 7.4.9 소개에서 발췌 한 것입니다.

하자 PDF 파일과 IID 수 제로 다른 곳 . $X_1,...,X_n$ $f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$ $\theta>0$

(가) MLE 찾기 의 $\hat{\theta}$ $\theta$

(b)는 에 대한 충분한 통계치 ? 왜 ? $\hat{\theta}$ $\theta$

나는 (a)와 (b)를 풀 수 있다고 생각하지만 (c)와 혼동된다.

(a)의 경우 :

하자 주문 통계를합니다. $Y_1<Y_2<...Y_n$

$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$ 및 , 다른 장소의 $-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta$ $L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$ 은 이기 때문에이 미분이 음수임을 알 수 있습니다. $\theta>0$

따라서 우도 함수 이 감소하고 있습니다. $L(\theta;x)$

가입일 및 , 및 $(-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta)$ $\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$ $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

$L(\theta,x)$ 은 감소하고 있습니다. 가 가장 큰 값을 가질 때 이므로 , 우도 함수는 최대 값을 달성 할 것입니다. $\theta$ $\theta>max(-y_1,y_n/2)$ $\theta=max(-y1,y_n/2)$

$\therefore$ MLE $\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

(b)의 경우 :

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

$\therefore$ Neyman의 인수 분해 이론에 따르면 는 대한 충분한 통계량입니다 . 따라서 도 충분한 $y_n=max(x_i)$ $\theta$ $y_n/2$

마찬가지로

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

$\therefore$ Neyman의 인수 분해 이론에 따르면 는 대한 충분한 통계량입니다 . 따라서 도 충분한 입니다. $y_1=min(x_i)$ $\theta$ $-y_1$

(c)의 경우 :

먼저 의 CDF를 찾습니다. $X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

다음으로, 주문 통계에 대한 책 공식에서 및 대한 pdf를 찾을 수 있습니다 . $Y_1$ $Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

마찬가지로

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

다음으로, 및 대한 pdf 제품군의 완전성을 보여줍니다. $f(y_1)$ $f(y_n)$

$E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$ . 의해 (적분을 모든 대해 을 표시 할 수 있습니다 . $FTC$ $u(\theta)=0$ $\theta>0$

따라서 pdf 제품군 이 완성되었습니다. $Y_1$

마찬가지로 여전히 에 의해 pdf 가 완료 보여줄 수 있습니다 . $FTC$ $Y_n$

문제는 이제 이 편향되어 있지 을 보여 주어야합니다 . $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

때 $\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

부품별로 통합하여 적분을 해결할 수 있습니다

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

따라서 은 때 의 편향 추정치가 아닙니다. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

경우 $\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

여전히 은 때 의 편향 추정치가 아닙니다. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

그러나이 책의 답은 은 고유 한 MVUE입니다. 편향 추정 기인 경우 왜 MVUE인지에 대해서는 확신하지 않습니다. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

또는 내 추리가 잘못되었습니다. 실수를 찾도록 도와주세요. 더 자세한 계산을 해줄 수 있습니다.

대단히 감사합니다.

— 딥 노스
소스

분포에 대한 계산이 보이지 않습니다 .

\hat{θ}

$\hat\theta$

— whuber

감사합니다, whater, . 이 중 하나입니다 또는 하나가 더 큰 인에 따라 달라집니다. 과 대한 분포를 계산했습니다 . 보시 과 .

\hat{θ} = m a x (- y_{1}, y_{n} / 2)

$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

- y_{1}

$-y_1$

y_{n} / 2

$y_n/2$

y_{1}

$y_1$

y_{n}

$y_n$

f (y_{1}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (2 θ - y_{1})^{n - 1}

$f(y_1)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

f (y_{n}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (y_{n} + θ)^{n - 1}

$f(y_n)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

— Deep North

위의 두 분포에서 및 한 다음

E (\hat{θ}) = E (- Y_{1})

$E(\hat{\theta})=E(-Y_1)$

E (\hat{θ}) = E (Y_{n} / 2)

$E(\hat{\theta})=E(Y_n/2)$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ})

$E(\frac{n+1}{n}\hat{\theta})$

— Deep North

극한의 작업에는주의가 필요 하지만 반드시 그럴 필요는 없습니다. 게시물 중간에있는 중요한 질문은

... 이 (가) 편향되어 있지 않음 을 보여 주어야합니다 . $\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

앞서 얻은

\hat{θ} = max (- y_{1}, y_{n} / 2) = max {- min {y_{i}}, max {y_{i}} / 2} .

$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$

복잡해 보이지만 누적 분포 함수 를 고려하면 계산이 기본이됩니다 . 이를 시작하려면 입니다. 하자 이 범위의 숫자. 정의에 따라 $F$ $0\le \hat\theta \le \theta$ $t$

\begin{aligned} F (t) & = Pr (\hat{θ} \leq t) \\ = Pr (- y_{1} < t and y_{n} / 2 \leq t) \\ = Pr (- t \leq y_{1} \leq y_{2} \dots \leq y_{n} \leq 2 t) . \end{aligned}

$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$

이것은 모든 값이 와 사이에 있을 가능성입니다 . 이 값들은 길이 의 구간을 묶었 다 . 분포가 균일하기 때문에 특정 가이 구간에 확률 은 길이에 비례합니다. $n$ $-t$ $2t$ $3t$ $y_i$

Pr (y_{i} \in [- t, 2 t]) = \frac{3 t}{3 θ} = \frac{t}{θ} .

$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$

때문에 독립적, 이러한 확률은 곱셈, 제공 $y_i$

F (t) = {(\frac{t}{θ})}^{n} .

$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$

변수에 대해 를 사용하여 , 대해 가능한 값의 간격에 걸쳐 생존 함수 를 통합하면 기대 값을 즉시 찾을 수 있습니다 . $1-F$ $\hat\theta$ $[0, \theta]$ $y=t/\theta$

E (\hat{θ}) = \int_{0}^{θ} (1 - {(\frac{t}{θ})}^{n}) d t = \int_{0}^{1} (1 - y^{n}) θ d y = \frac{n}{n + 1} θ .

$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$

(이 기대치 공식은 부품 통합을 통한 일반적인 적분에서 파생됩니다 . 자세한 내용은 https://stats.stackexchange.com/a/105464 끝에 제공됩니다 .)

스케일링에 의해 범 $(n+1)/n$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ}) = θ,

$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$

QED .

— 우버
소스

마지막 수식 오타가있다, 그것은해야한다 하지

\hat{θ}

$\hat \theta$

{\hat{θ}}^{n}

$\hat \theta^n$

— 딥 북한

물론 @Deep! 지적 해 주셔서 감사합니다. 이제 수정되었습니다.

— whuber

고유 한 MVUE 찾기

나는 (a)와 (b)를 풀 수 있다고 생각하지만 (c)와 혼동된다.

문제는 이제 이 편향되어 있지 을 보여 주어야합니다 .(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

따라서 은 때 의 편향 추정치가 아닙니다. θ θ =-(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1

여전히 은 때 의 편향 추정치가 아닙니다. θ θ =YN/2(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2

그러나이 책의 답은 은 고유 한 MVUE입니다. 편향 추정 기인 경우 왜 MVUE인지에 대해서는 확신하지 않습니다.(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

문제는 이제 이 편향되어 있지 을 보여 주어야합니다 . $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

따라서 은 때 의 편향 추정치가 아닙니다. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

여전히 은 때 의 편향 추정치가 아닙니다. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

그러나이 책의 답은 은 고유 한 MVUE입니다. 편향 추정 기인 경우 왜 MVUE인지에 대해서는 확신하지 않습니다. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$