긴꼬리가 아닌 두꺼운 꼬리 분포의 예

두꺼운 꼬리 분포 와 긴 꼬리 분포에 대한 판독 결과에서 나는 모든 긴 꼬리 분포가 두꺼운 꼬리 이지만 모든 두꺼운 꼬리 분포가 긴 꼬리는 아니라는 것을 이해했습니다 .

누군가 다음과 같은 예를 들어 주시겠습니까?

• 긴꼬리 인 연속적이고 대칭적인 제로 평균 밀도 함수
• 꼬리가 무겁지만 꼬리가 긴 연속적이고 대칭적인 제로 평균 밀도 함수

그래서 그들의 정의의 의미를 더 잘 이해할 수 있습니까?

둘 다 단위 분산을 가질 수 있다면 더 좋습니다.

두 가지 정의는 유사하지만 정확히 동일하지는 않습니다. 한가지 차이점은 생존율이 한계를 가질 필요성에있다.

분포가 연속 대칭 및 유한 분산 될 때까지이 우리가 발견되면 수행하기 쉽기 때문에이 답변의 대부분 나는 기준을 무시하고 임의의 긴 꼬리되지 유한 분산 무거운 꼬리 분포를.

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일 때 분포 는 두꺼운 꼬리를 ,니다.t > $F$$t\gt 0$

$$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$$

생존 기능을 가진 분포 이고 긴 꼬리 때$G_F = 1-F$

$$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$$

긴꼬리 분포는 무겁습니다. 또한, 는 증가 하지 않기 때문에 , 비 의 한계는 초과 할 수 없다 . 그것이 존재하고 보다 작은 경우 , 는 기하 급수적으로 감소하고 있으며 이는 적분 이 수렴하게합니다.$G$$(2)$$1$$1$$G$$(1)$

긴꼬리 분포가 아닌 두꺼운 꼬리 분포를 나타내는 유일한 방법은 가 위반 되는 동안 계속 유지 되도록 긴 꼬리 분포를 수정하는 것 입니다. 한계를 망가 뜨리는 것은 쉽습니다. 무한대로 갈라지는 무한한 많은 곳에서 바꾸십시오. 그래도 을 사용하면 약간의 시간이 걸리고 계속 증가해야합니다. 한 가지 방법은 약간의 점프를 도입 하여 아래쪽으로 점프하여 비율 입니다. 이를 위해 값에서 갑작스런 점프를 생성하면서 를 다른 유효한 분포 함수로 바꾸는 변환 를 정의 해 봅시다.$(1)$$(2)$$F$$F$$G$$G_F(x+1)/G_F(x)$$T_u$$F$$u$ 에서 중간으로 점프한다고 가정 해보십시오 .$F(u)$$1$

$$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$$

이것은 기본 속성을 변경하지 않습니다 . 는 여전히 분포 함수입니다.$F$$T_u[F]$

에 대한 효과 는 에서 의 계수만큼 떨어지도록하는 것 입니다. 따라서 는 감소하지 않으므로 일 때마다$G_F$$1/2$$u$$G$$u-1 \le x \lt u$

$$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$$

우리의 증가 및 발산 시퀀스 선택하면 , 각 적용 연속적으로, 이는 분배의 순서를 결정한다 와 및$u_i$$i=1, 2, \ldots$$T_{u_i}$$F_i$$F_0=F$

$$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$$

대한 . 애프터 단계 모두 동일하게 유지 . 결과적으로 시퀀스는 분포 함수의 비 감소, 경계, 포인트 단위 시퀀스이며 그 한계를 암시합니다.$i \ge 1$$i^\text{th}$$F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$$x\lt u_i$$F_i(x)$

$$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$$

분포 함수입니다. 건설로 인해 생존율 가 이하로 떨어질 수 있는 점이 무한히 많기 때문에 긴 꼬리가 없습니다 . 로 제한 할 수 없음을 표시합니다 .$G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$$1/2$$1$

이 그림은 이런 식으로 지점에서 잘린 생존 함수 를 보여줍니다 대수 수직 축에 유의하십시오.$G(x) = x^{-1/5}$$u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

희망은 를 선택 하여 가 계속 헤비 테일을 유지할 수 있도록하는 것 입니다. 우리는 가 꼬리가 무겁기 때문에 숫자 가 있다는 것을$(u_i)$$F_\infty$$F$$0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

$$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$$

모든 . 오른쪽 의 의 이유는 가 까지의 값에 할당 한 확률이 절반으로 연속해서 삭감 되었기 때문 입니다. 이 절차 는 대해 가 로 을 줄이지 만 더 낮게는 없습니다.$i \ge 1$$2^{i-1}$$F$$u_i$$i-1$$dF(x)$$dF_{j}(x)$$j\ge i$$2^{i-1}$$1$

이것은 이전의 생존 함수와 "절단"버전에 해당하는 밀도 대한 의 도표입니다 . 이 곡선 아래의 영역은 기대에 기여합니다. 에서 까지의 면적 은 . 에서 까지의 은 이며, 아래로 내려갈 때 (하부 청색 부분까지)는 의 면적이됩니다 . 에서 까지의 은 이며, 잘라낼 때 면적이 이됩니다. 따라서 오른쪽의 각 연속 "계단 단계"아래 영역은 입니다.$x f(x)$$f$$1$$u_1$$1$$u_1$$u_2$$2$$1$$u_2$$u_3$$4$$1$$1$

를 정의하기 위해 이러한 시퀀스 를 선택하겠습니다 . 우리는 선택하여 무거운 꼬리 남아 있음을 확인할 수 있습니다 일부 전체 번호 과 구조를 적용 :$(u_i)$$F_\infty$$t=1/n$$n$

$$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$$

여전히 분기됩니다. 는 임의로 작기 때문에 , 는 꼬리가 긴 특성이 파괴 되더라도 꼬리가 짙은 상태로 남아 있음을 나타냅니다 .$t$$F_\infty$

이것은 컷 다운 분포 에 대한 생존율 의 도표입니다 . 원래 의 비율과 마찬가지로, 누적 누적 값이 경향이 있지만 에서 끝나는 단위 너비 간격의 경우 비율은 원래 원래 절반의 절반으로 갑자기 떨어집니다. 이러한 방울은 증가함에 따라 점점 더 자주 발생하지 않지만 무한정 자주 발생하므로 비율이 에서 에 근접하는 것을 방지합니다 .$G(x+1)/G(x)$$G$$1$$u_i$$x$$1$

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연속적이고 대칭적인 제로 평균 단위 분산 예제를 원하면 유한 분산 장거리 분포로 시작하십시오. ( ) ; 초과하는 자유도에 대한 스튜던트 t 분포도 마찬가지입니다 . 의 순간 의 그 초과 할 수 없습니다 너무 유한 분산을 가지고 어디서를. 가우시안 (Gaussian)과 같은 훌륭한 부드러운 분포로 컨볼 루션을 통해 "몰리 파이 (Mollify)": 연속적으로 만들지 만 두꺼운 꼬리 (분명히)를 제거하지 않거나 긴 꼬리가없는 경우 (명확하지는 않지만 명백한 경우) 가우시안을 지원하는 컴팩트 한 베타 배포판으로 변경하십시오.$F(x) = 1 - x^{-p}$$x \gt 0$$p \gt 1$$2$$F_\infty$$F$

라고 부르는 결과를 다음과 같이 정의하여 정의하십시오.$F_\infty$

$$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$$

모든 . 분산은 유한 한 상태로 유지되므로 원하는 분포로 표준화 할 수 있습니다.$x\in\mathbb{R}$