역변환 방법은 어떻게 작동합니까?

21

반전 방법은 어떻게 작동합니까?
임의 샘플 가 있다고 가정 $X_1,X_2,...,X_n$ 밀도 $f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$ 가
초과 $0<x<1$ 하므로 cdf $F_X(x)=x^{1/\theta}$ on $(0,1)$ . 그런 다음 반전 방법으로의 분포를로얻습니다. $X$ $F_X^{-1}(u)=u^\theta$

그렇게 $u^\theta$ 의 분포가 $X$ ? 이것이 반전 방법이 작동하는 방법입니까?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

— 클락슨
소스

3

확률 적분 변환 에 대한 스레드를 참조하십시오 .

— whuber

1

예, 일반적으로 "확산 적분 변환"이라고합니다.

의 분포 함수를 도출하여 왜 작동하는지 확인하십시오.

F^{- 1} (U)

$F^{-1}(U)$

— dsaxton

20

이 방법은 매우 간단하므로 간단한 단어로 설명하겠습니다. 먼저 표본 추출하려는 일부 분포의 누적 분포 함수 를 취 합니다. 이 함수는 일부 값 를 입력 으로 사용하여 를 얻을 확률을 알려줍니다 . 그래서 $F_X$ $x$ $X \leq x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = p

$F_X(x) = \Pr(X \leq x) = p$

이러한 함수 함수와 반대로 는 를 입력으로 사용하여 반환 합니다. 것을 공지 사항 의이 균일하게 분포되어있다 -이 어떤에서 샘플링에 사용될 수 당신이 알고있는 경우 $F_X^{-1}$ $p$ $x$ $p$ $F_X$ . 이 방법을역변환 샘플링이라고합니다. 아이디어는 매우 간단합니다.에서 균일하게 값을 샘플링하기 쉽기때문에 일부에서 샘플링하려면값 $F_X^{-1}$ $U(0, 1)$ $F_X$ 와 통과 통해 구하는 의 $u \sim U(0, 1)$ $u$ $F_X^{-1}$ $x$

F_{X}^{- 1} (u) = x

$F_X^{-1}(u) = x$

또는 R (정규 분포의 경우)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

아래에서 CDF를 살펴보면 일반적으로 축의 값 확률에 대해 축을 보는 관점에서 분포를 생각 합니다. 이 샘플링 방법을 사용하면 반대의 작업을 수행하고 "확률"로 시작하여 관련 값을 선택합니다. 이산 분포하면 치료 행 선으로 행 언젠가 않는 위치에 기초하여 지정 값 (이 라인에 거짓말을 예컨대 만약 또는 의 경우 에서 샘플링 $y$ $x$ $U$ $0$ $1$ $u$ $0$ $0 \leq u < 0.5$ $1$ $0.5 \leq u \leq 1$ ). $\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

불행히도, 모든 함수가 역함수를 가지지 않기 때문에 항상 가능한 것은 아닙니다. 예를 들어이 방법을 이변 량 분포와 함께 사용할 수는 없습니다. 또한 모든 상황에서 가장 효율적인 방법 일 필요는 없으며 많은 경우 더 나은 알고리즘이 존재합니다.

또한의 분포 무엇인지 물어 . 이후 의 역수 인 다음 및 , 그래서 긍정 값을 획득하여 이러한 방법은 할 와 같은 분포 . 간단한 시뮬레이션으로 확인할 수 있습니다 $F_X^{-1}(u)$ $F_X^{-1}$ $F_X$ $F_X(F_X^{-1}(u)) = u$ $F_X^{-1}(F_X(x)) = x$ $X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

— 팀
소스

좋은 대답입니다. 이 방법은 지수, 코시, 기하, 파레토, 로지스틱, 극값와 이블 등과 같은 분포가있을 때 작동합니다 . 예를 들어 정규 분포에 대한 닫힌 형태를 찾을 수 없습니다 . 따라서이 방법을 사용할 수 없습니다. 거부 방법 과 같은 다른 방법을 시도 할 수 있습니다.

— Abbas Salimi

2

정규 분포에 역변환 방법을 사용할 수 있습니다. 일반적인 역 CDF에 대한 많은 구현이 있습니다 . 예를 들어, 상보 오류 함수를 사용하여 일반 역 CDF를 작성할 수 있습니다 . erfc의 구현 예 는 여기에 있습니다 . erfc를 직접 코딩하지 마십시오. 도서관을 이용하십시오. 닫힌 형식 수식이 없다고해서 고품질 수치 근사값을 사용할 수 없다는 의미 는 아닙니다 .

— Matthew Gunn

2

$U^θ$ $X$

역변환 방법의 직관에 대한 두 가지 추가 사항이 유용 할 수 있습니다.

$F^{-1}$

(2) [명확함 대신 더 혼란 스러울 경우 다음을 무시하십시오.]

$X$ $F$

F (X) \sim Unif (0, 1)

$F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$

X

$X$

X

$X$

F (X)

$F(X)$

$X$ $X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$ $U$

U = X^{1 / θ}

$U = X^{1/\theta}$

X

$X$

U

$U$

X = U^{θ}

$X=U^\theta$

PS. Alternative names for the method are probability integral transform, inverse transform sampling, the quantile transformation, and, in some sources, "the fundamental theorem of simulation".

— den2042
소스