정규 확률 변수의 합이 정규화되기 위해 결합 정규성이 필요한 조건입니까?

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관련 질문에 대한 이 답변에 대한 주석 에서 사용자 ssdecontrol과 Glen_b 는 합계 의 정규성을 주장하는 데 $X$ 와 의 공동 정규성이 필요한지 여부를 물었습니다 . 물론 관절의 정상 성도 충분 합니다. 이 보충 질문은 거기에서 다루어지지 않았으며 아마도 그 자체로 고려할 가치가 있습니다. $Y$ $X+Y$

공동 정규성은 한계 정규성을 의미하므로

정규 확률 변수가 존재 $X$ 와 $Y$ 있도록 $X+Y$ 정상적인 확률 변수이다,하지만 $X$ 와 $Y$ 되어 있지 공동으로 정규 확률 변수?

경우 $X$ 와 $Y$ 정규 분포를 가질 필요가 없습니다, 다음은 정규 확률 변수를 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어 이전 답변에서 찾을 수 있습니다 (위 링크 참조). 위의 강조 표시된 질문에 대한 답변은 예라고 생각하며이 질문에 대한 답변으로 예제를 게시했습니다.

— 디립 사르 베이트
소스

2

퇴보 분포를 어떻게 처리하고 싶습니까? 예를 들어,

X

$X$ 가 표준 법선이고

Y = - 2 X

$Y=-2X$ 인 경우

X

$X$ 와

의 결합 분포

Y

$Y$ 는 축퇴 정규 분포이고

X + Y

$X+Y$ 는 표준 법선입니다.

— Brian Borchers 2016 년

@BrianBorchers

및

있는 분포가 당신이 말하는대로 타락한 경우에도 공동으로 정규 확률 변수. 관절 정규성의 표준 정의는

의 모든 선택에 대해

가 정규 인 경우

와

가 공동으로 정규

입니다. 여기에서

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ 그럼에도 불구하고 정상적인 무작위 변수라고 불리는 퇴화 사례입니다.

— Dilip Sarwate

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를 iid 이라고하자 . $U,V$ $N(0,1)$

이제 다음과 같이 를 변환하십시오. $(U,V) \to (X,Y)$

$U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

다른 사분면의 경우 원점을 기준으로이 매핑을 회전합니다.

결과 이변 량 분포는 다음과 같습니다 (위에서 볼 수 있음).

$\hspace{1.5 cm}$

-자주색은 확률이 두 배인 영역을 나타내고 흰색 영역은 확률이없는 영역을 나타냅니다. 검은 색 원은 일정한 밀도의 윤곽선입니다 경우 원의 모든 위치에 있지만 각 색상 영역 내 ). $(U,V)$ $(X,Y)$

대칭으로 와 는 모두 표준 법선입니다 (수직선을 보거나 수평선을 따라 가로 또는 세로선이 교차하는 축을 가로 질러 뒤집힌 것으로 간주 할 수있는 모든 흰색 점에 자주색 점이 있습니다) $X$ $Y$
그러나 는 분명히 이변 량 정상이 아니며 $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ 인 (동일하게, 상수 선을 따라 살펴보면 1에서 논의한 것과 비슷한 대칭이 있음을 알 수 있습니다. 그러나 이번에는 라인) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

1

+1 및 수락; 이 구성은 내 자신의 대답보다 훨씬 좋습니다!

— Dilip Sarwate

5

관절 밀도 함수 공동 연속 랜덤 변수 를 고려하십시오. 여기서 는 표준 정규 밀도 함수를 나타냅니다. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

및 는 종속 랜덤 변수 라는 것이 분명 합니다. 그것들이 공동으로 정규 랜덤 변수 가 아니라는 것도 분명 합니다. 그러나 세 쌍 은 모두 쌍으로 독립된 랜덤 변수입니다. 실제로는 독립 표준 정규 랜덤 변수 (따라서 쌍으로 공동 정규 랜덤 변수)입니다. 요컨대, 는 쌍으로 독립적이지만 상호 독립적 인 정규 랜덤 변수의 예입니다. 자세한 내용은 이 대답 을 참조하십시오. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

쌍별 독립성을 통해 및 모두 분산이 인 평균 제로 평균 랜덤 변수 임을 알 수 있습니다. 이제 하고 는 분산이 제로 평균 정규 랜덤 변수입니다 . 또한 이므로 와 는 종속적이고 상관 된 임의 변수입니다. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ 및 는 공동 상관이 아닌 (상관 된) 정규 랜덤 변수 이지만 합계 는 정규 랜덤 변수 라는 속성을 갖습니다 . $Y$ $X+Y$

달리 말하면, 공동 정규성은 정규 랜덤 변수의 합의 정규성을 주장 하기에 충분한 조건이지만 필요한 조건 은 아닙니다 .

증거 및 공동 정상 아닌 $X$ $Y$
변형 된 버젼 그것이 그 쉽게 얻을, 선형 입니다. 따라서 우리는 그러나 는 정확히 1 일 때만 값이 0이 아닌 속성을 갖습니다. 또는 세 가지 주장이 모두 음수가 아닙니다. 이제 이라고 가정하십시오 . 그러면 값 은 대해 입니다. $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ 이고 이 없습니다. 따라서 경우 이제 등 밖으로 확장하여 과 하 일부 재정렬에 인티의 , 우리가 쓸 수 여기서 는 정규 랜덤입니다. 평균 변수

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ 및 분산 . 대괄호 안의 두 용어에는 및 의 (다른) 함수 인 인수가 있는 표준 일반 CDF 가 포함 됩니다. 따라서, 와 가 정규 랜덤 변수 이지만 는 이변 량 정규 밀도 가 아니며 합은 정규 랜덤 변수입니다.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

주석 : 와 의 합동 정규성은 정규성을 나타내기에 충분 하지만 훨씬 더 많은 것을 암시합니다. 는 의 모든 선택에 대해 정상입니다 . 여기서는 필요 단지 세 가지 선택을 위해 정상으로 , 즉., 처음 두 적용 자주 무시 와 의 (마진 적) 밀도는 정규 밀도 여야하고, 세 번째는 합이 또한 정규 밀도를 가져야한다는 조건입니다 (예 : 의 답변 참조 ) . 따라서 우리 는 할 수 있습니다 $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ 있는 정규 확률 변수가 없는 공동으로 일반하지만 그 합계 우리가 다른 선택을 위해 무슨 상관하지 않기 때문에 정상 . $(a,b)$

— 디립 사르 베이트
소스