사전 확률 분포를 어떻게 공식화합니까? 경험해야 할 규칙이나 팁이 있습니까?

베이지안 통계 분석 및 의사 결정에서 사전 정보의 개념을 잘 이해하고 있다고 생각하지만 종종 응용 프로그램을 둘러싼 머리를 감쌀 수 없습니다. 나는 나의 투쟁을 예시하는 몇 가지 상황을 염두에 두었고, 지금까지 읽은 베이지안 통계 교과서에서 제대로 해결되지 않았다고 생각합니다.

몇 년 전에 68 %의 사람들이 ACME 제품 구매에 관심이 있다고 설문 조사를 실시했다고 가정 해 봅시다. 설문 조사를 다시 실행하기로 결정했습니다. 지난 번과 동일한 샘플 크기 (예 : n = 400)를 사용하지만 그 이후로 사람들의 의견은 변했을 것입니다. 그러나 400 명의 응답자 중 272 명이 "예"라고 대답 한 베타 배포판을 사용하여 이전에 사용하는 경우 몇 년 전에 실행 한 설문 조사와 현재 실행중인 설문 조사에 동일한 가중치를 부여합니다. 몇 년 전의 데이터로 인해 이전에 더 큰 불확실성을 설정하려는 경험이 있습니까? 나는 272/400에서 136/200으로 이전을 줄일 수 있다는 것을 이해하지만, 이것은 매우 임의적이며, 아마도 문학에서 어떤 형태의 정당화가 있는지 궁금합니다.

다른 예를 들어, 우리가 임상 시험을 시작하려한다고 가정 해 봅시다. 시험을 시작하기 전에 전문가 의견, 이전 임상 시험 결과 (관련성이 변경됨), 기타 기본 과학 사실 등을 포함하여 사전 정보로 사용할 수있는 2 차 연구를 수행합니다. (일부는 본질적으로 비 정량적) 사전 확률 분포에 대한 것입니까? 어느 가족이 데이터를 압도 할만큼 충분히 선택하고 확산시킬 것인지 결정하는 경우일까요? 아니면 상당히 유익한 사전 배포를 설정하기 위해 많은 작업이 있습니까?

— 필
소스

stats.stackexchange.com/questions/1/…

— Tim

400 번의 시도에서 272 번의 성공에 대한 이전 정보를 다루 겠다는 당신의 생각은 베이지안의 근거가 상당히 확실합니다.

당신이 인정 당신이 다루고있는 문제는, 그 성공 확률 추정입니다 베르누이 실험을. 베타 배포판은 해당 "공액 사전"입니다. 이러한 결합체 선행은 "가상 샘플 해석"을 즐긴다 : $\theta$

이전 베타는 이것은 크기의 샘플에 포함 된 정보로 해석 될 수 있습니다 ( 물론 은 물론 정수일 필요는 없습니다) )와 성공 : 따라서 및 하면 이는 이전 매개 변수 및

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{β_{0} - 1}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1}$

\underline{n} = α_{0} + β_{0} - 2

$\underline{n}=\alpha_0+\beta_0-2$

\underline{n}

$\underline{n}$

α_{0} - 1

$\alpha_0-1$

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{\underline{n} - (α_{0} - 1)}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\underline{n}-(\alpha_0-1)}$

α_{0} + β_{0} - 2 = 400

$\alpha_0+\beta_0-2=400$

α_{0} - 1 = 272

$\alpha_0-1=272$

α_{0} = 273

$\alpha_0=273$

β_{0} = 129

$\beta_0=129$ . 샘플을 " "이전 매개 변수 및 됩니다. 베타 분포의 이전 평균과 이전 분산은 샘플을 반반 씩두면 이전 평균 (거의)이 다음과 같은 곳에 유지됩니다.

α_{0} = 137

$\alpha_0=137$

β_{0} = 65

$\beta_0=65$

μ = \frac{α}{α + β} and σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\qquad\text{and}\qquad\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

alpha01 <- 273
beta01 <- 129
(mean01 <- alpha01/(alpha01+beta01))

alpha02 <- 137
beta02 <- 65
(mean02 <- alpha02/(alpha02+beta02))

이전 편차 를

(priorvariance01 <- (alpha01*beta01)/((alpha01+beta01)^2*(alpha01+beta01+1)))
[1] 0.0005407484

에

(priorvariance02 <- (alpha02*beta02)/((alpha02+beta02)^2*(alpha02+beta02+1)))
[1] 0.001075066

바라는대로.

— 크리스토프 행크
소스