상한이 다른 연속적인 균일 한 RV 인 연속적인 균일 한 RV의 분포

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경우 및 한 다음, 내가 말할 수있는 $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

한계가있는 연속적인 균일 분포에 대해 이야기하고 있습니다 . 증거 (또는 반증!)가 인정 될 것입니다. $[a, b]$

uniform distributions

— 블레인 완
소스

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아닙니다. R에서 : 가 확실히 균일하게 분포되어 있지 않다는 hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))것을 명확하게 보여줍니다 . (나는 당신이 증거를 요구 한 이후로 이것을 주석으로 게시하고 있습니다. 이것은 어렵지 않아야하지만, 솔직히 말해서, 기울어 진 히스토그램을 감안할 때 증거가 필요하다고 생각하지 않습니다 ...)

Y

$Y$

— Stephan Kolassa

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위치와 스케일을 변경하면 이됩니다.이 경우 임의의 숫자 , 는

( 그렇지 않으면

). 조건부 확률을 계산 하려면

를 사용하십시오 .

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

— whuber

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의 분포를 $Y$ 분석적으로 도출 할 수 있습니다 . 먼저, 균일 분포를 따르는 것이 $Y|X$ 임을 주목하십시오.

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

그래서

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

때문에 균일 한 분포가 아닙니다 . 다음은 방금 계산 한 것과 중첩 된 분포에 대한 시뮬레이션 밀도의 모습 입니다. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— 존
소스

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기필코 아니다.

간단히하기 위해 정의하겠습니다 . $a = 0, b = 1$

그때

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

엄격한 불평등으로 인해 Unif (0,1) 이 불가능합니다 . $Y \sim$

— 클리프 AB
소스