스파이크가없는 잘린 가우스 곡선의 평균 및 표준 편차 추정

평균 m 및 표준 편차 s를 갖는 정규 분포에 따라 데이터를 생성하는 블랙 박스가 있다고 가정합니다. 그러나 값이 0보다 작은 값을 출력 할 때마다 아무 것도 기록하지 않는다고 가정하십시오 (이러한 값이 출력되었음을 알 수 없음). 급격한 가우시안 분포가 있습니다.

이 매개 변수를 어떻게 추정 할 수 있습니까?

데이터 모델은 다음과 같습니다.

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

따라서 밀도 함수는 다음과 같습니다.

$$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$$

어디,

$\phi(.)$ 는 표준 일반 cdf입니다.

그런 다음 최대 우도 또는 베이지안 방법을 사용하여 및 매개 변수를 추정 할 수 있습니다 .$\mu$$\sigma$

Srikant Vadali가 제안했듯이, 코헨과 HALD는 (뉴튼 - 랩슨 루트 파인더) ML을 사용하여이 문제를 해결 1950 년 또 다른 용지로 볼 수 있습니다 최대 Halperin의 "잘린 정상 분포에서 추정"입니다 해결 JSTOR (액세스 할 수있는 사람들을 위해 참조). 인터넷 검색 "잘린 가우시안 추정"은 많은 유용한 조회수를 생성합니다.

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세부 사항은이 질문을 일반화하는 스레드로 제공됩니다 (일반적으로 잘린 분포에). 잘린 분포에 대한 최대 우도 추정값을 참조하십시오 . 최대 우도 추정값을 R의 Max Entropy Solver에서 주어진 (코드와 함께) 최대 엔트로피 솔루션과 비교하는 것도 흥미로울 수 있습니다 .

기술적 경계 TB가 H. Schneider 의 단순화 된 접근 방식 은 잘린 정규 분포 의 평균 및 표준 편차 를 계산하는 데 매우 유용합니다 .$a=0$$\mu_t$$\sigma_t$

1. 데이터 세트 의 평균 및 표준 편차 (전체 모집단!)를 계산합니다.$\mu$$\sigma$

   $\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

   $\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$

2. 기술 경계 이 평균 까지 유효한 거리인지 확인하십시오 .$TB=a=0$$\bar{x}$

   고려한 경우에 필요하지 않다$TB = a$$\bar{x} \le 3s$

3. 계산 및 :$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$$Q(\omega)$

   $\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

   $P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

   $P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

   $Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$

4. 인지 확인하십시오 . 그렇지 않으면 평균 가 으로 기술적으로 유용하지 않습니다$\omega \le 0,57081$$\mu_t$$<0$

5. 잘린 정규 분포에 대해 및 를 계산하십시오 .$\mu_t$$\sigma_t$

   $\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

   $\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

그게 다야...