제로 상관 혼합 모델은 이론적으로 건전한시기는 언제입니까?

혼합 효과 모델링 분야의 리더로부터 아래 블록 인용문은 랜덤 효과 ( 'ZCP'모델) 간의 상관 관계가 0 인 모델의 좌표 이동이 모델 예측을 변경한다고 주장합니다. 그러나 누군가가 자신의 주장을 자세히 설명하거나 정당화 할 수 있습니까?

문제의 진술은 7 페이지, 두 번째 단락 ( 다운로드 링크 ) 에 대한 Bates et al의 2015 논문 lme4, lme4를 사용한 선형 혼합 효과 모델 피팅 에 관한 것 입니다. $\newcommand{\slope}{\text{slope}} \newcommand{\int}{\text{int}} \newcommand{\intercept}{\text{intercept}}$

다음은 그들이 쓴 내용에 대한 설명입니다.

랜덤 슬로프 모델의 복잡성을 줄이기 위해 제로 상관 매개 변수 모델이 사용되지만 한 가지 단점이 있습니다. 경사와 절편이 0이 아닌 상관 관계를 가질 수있는 모델은 연속 예측 변수의 가산 변이에 변하지 않습니다.

이 불변은 상관 관계가 0으로 제한 될 때 분해됩니다. 예측 변수의 이동은 추정 된 상관 관계의 변화와 모델의 가능성 및 예측의 변화로 이어질 것입니다. ⁽¹⁾ 예를 들어, 우리가 상관 없앨 수 FM1를 단순히 이동시킴으로써 일 [수반 예측기 만큼이] 즉, 추정 상관 곱한 중 피사체 추정 표준 편차의 비율이 동일한 ² , $\slope$

$ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{slope}}{σ_{intercept}}$ $\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\slope}}{\sigma_{\intercept}}$
이러한 모형의 사용은 예측자가 비율 척도로 측정되는 경우에 이상적으로 제한되어야합니다 (즉, 척도의 영점은 편의성 또는 규칙에 의해 정의 된 위치 만이 아니라 의미가 있습니다).

질문 :

위의 위첨자에 따라 번호가 매겨져 있습니다 ...

예측자가 측정되는 좌표계의 이동으로 인해 추정 된 상관 관계가 변경되어 0이 아닌 상관 관계가 발생 함을 알 수 있습니다. 이는 예측 변수 좌표계의 이동에서 영 상관 파라미터 모델이 변하지 않는다는 진술을 지원하므로, 0이 아닌 임의 효과 상관을 갖는 모델은 적절한 좌표 이동으로 영 상관을 갖는 모델로 변환 될 수 있습니다. ZCP 모델 (그리고 제로 인터셉트 모델 (아래 참조)에서 확인하십시오 )은 특정 특수 좌표계를 사용하는 모델에만 유효합니다. 그러나 왜 이러한 모델에 대한 좌표 이동 변경 예측이 필요한가?

예를 들어, 좌표 이동은 그룹 평균의 고정 효과 절편 항을 변경하지만 (아래 참조) 예측 변수 좌표계의 원점 변경에 적합한 양만큼만 변경됩니다. 새로운 좌표 시스템이 시프트 된 예측 자에 사용되는 한, 이러한 변화는 모델 예측에 영향을 미치지 않습니다.

자세히 설명하면, 이동 된 예측 변수와 관련된 고정 효과 기울기가 양수이고 예측 변수 좌표계의 원점이 음의 방향으로 이동하면 고정 효과 차단이 감소하고 관련 임의 효과 차단도 변경됩니다. 이에 따라, 이동 된 좌표계에서 '원점'의 새로운 정의 (따라서 가로 채기)를 반영합니다. 그건 그렇고,이 추론 은 또한 제로 인터셉트 모델도 그러한 변화에서 변하지 않음을 의미한다고 생각합니다 .

나는 이것을 해결하는 합리적인 방법이 있다고 생각하지만 Bates et al. 과 약간 다른 답변을 얻었습니다 . 어딘가에 잘못 가고 있습니까?

아래는 내 대답입니다. 다음은 내가 어떻게 결과에 도달했는지에 대한 설명입니다. 요약하면, 원점을 만큼 음수로 시프트하면 새 좌표계에서 예측 변수가 값을 취한 다음 새 좌표계 의 상관 관계 가됩니다. 다음과 같은 경우 0입니다. $x$ $\delta > 0$ $x' = x + \delta$ $\rho'$

$δ = ρ_{slope : intercept} \times \frac{σ_{intercept}}{σ_{slope}}$ $\delta=\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\intercept}}{\sigma_{\slope}}$
이것은 베이츠 등의 결과 와 다릅니다 .

내 방법에 대한 설명 (선택적 판독) : 두 개의 임의 효과, 및 ( 약식은 ) 의 상관 관계가 있고 수준 이 같은 그룹화 요소 ( 는 부터 까지의 범위)에 해당합니다. ~ ). 또한 임의의 가 쌍을 이루는 연속 예측 변수를 라고하고 레벨 의 적합 값 대한 조건부 기여를 생성하도록 정의했다고 가정 해 $\slope$ $\intercept$ $\int$ $k$ $i$ $1$ $k$ $\slope$ $x$ $x\times\slope_i$ $\hat y_{obs}$ $i$ 관련 그룹화 요소 실제로는 MLE 알고리즘의 값이 결정되지만 최대화하는 가능성을 , I는 아래 식에 균일 변환의 효과를 판정하는 차원 올바른 방법이 될 것이 기대 에 대한 임의의 영향 승산기 . $\rho$ $x$ $\slope$

ρ_{slope : int} = \frac{E_{i} [({slope}_{i} - \bar{{slope}_{i}}) ({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})]}{\sqrt{E_{i} [({slope}_{i} - \bar{{slope}_{i}})^{2}] E_{i} [({int}_{i} - \bar{{int}_{i}})^{2}]}}

$\rho_{\slope:\int} = \frac{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})(\int_i -\overline {\int_i})\big]}{\sqrt{E_{i}\big[(\slope_i -\overline {\slope_i})^2\big]E_{i}\big[(\int_i-\overline {\int_i})^2\big]}}$

내 결과에 도달하기 위해 먼저 인터셉트에 대한 새 값 (여기서 ,'왼쪽) '예측 자 원점 이동 ). 그런 다음 결과 식을 에 대한 위의 수식 분자로 대체 하여 새 좌표계에서 공분산이 0이 아닌 값을 계산했습니다 . 위의 질문 1 에서 언급 한 것처럼 고정 효과 절편도 비슷한 방식으로 변경됩니다 : . (여기서 $\int' = -\delta \times \slope + \int$ $\delta > 0$ $x$ $\rho$ $\delta$ $\beta_0' =- \delta\times\beta_x + \beta_0$ $\beta_x$ 는 시프트 된 예측 변수 와 연관된 고정 효과 예측 변수) $x.$

r mixed-model lme4-nlme

— 클레어
소스

몇 가지 거친 아이디어. (1) 고정 경사가 변경되거나 (2) 임의 경사가 변경되면 변경됩니다. (1)의 경우 : 고정 경사는 군집 별 경사의 가중 평균으로 볼 수 있으며, 여기서 가중치는 추정 된 분산 성분에 부분적으로 의존합니다. 공분산을 생략하면 변수가 변경됩니다. 추정, 가중치 변경, 고정 경사 변경. (2)의 경우 : 랜덤 슬로프는 동일한 가중치에 비례하여 고정 된 슬로프를 향한 클러스터 특정 슬로프입니다. 공분산을 생략하면 변수가 변경됩니다. 추정, 수축 정도 변경, 임의의 기울기 변경.

\hat{y}

$\hat{y}$

— Jake Westfall

@clarpaul, 이것이 더 많은 주목을받지 못했다는 것에 조금 실망했습니다. 당신은 당신의 자신의 답변을 넣을 수 있습니다. 만약 아무도 대답하지 않으면, 나는 당신에게 현상금을 줄 것입니다.

— gung-복직 모니카

@gung에게 감사합니다. 제 답변은 위의 "편집"과 밀접하게 일치합니다. 현상금은 좋을 것이지만 만료되기 전에 시간이 없을 수도 있습니다. 기본 추론에 동의하고 시간을내어 약간의 수정을 기꺼이 받아들이는 사람이라면 누구나 내 "편집"을 가져 와서 답변으로 바꾸는 것이 좋습니다.

— clarpaul

이 질문에 대한 대답은 다소 정의적인 것으로 판명되었습니다 . ZCP 모델의 독립 변수의 좌표를 이동시키고 상관이 구속되지 않은 방식으로 전개되도록 허용 한 경우, 구속 되지 않은 상관 관계 가있는 선형 혼합 효과 모델이 변하지 않기 때문에 예측이 변경되지 않습니다 (일부 수학으로 표시 할 수 있음) . 그러나 정의 에 따라 ZCP 모델은 상관 관계가 제한됩니다 . 좌표 이동시 구속되지 않은 LME 모델에서 필요에 따라 상관 관계를 개발할 수 없습니다. 따라서 ZCP 모델은 평행 이동이 아니며 좌표 이동 은 $0$ 모델 예측 변경. (LME 모델이 변하기 쉬운 좌표 이동으로 변하지 않을 것으로 예상되는 경우) 그러한 좌표 이동 이 의미가 없는 모델 만 이론적으로 ZCP 모델 (예 : 단락의 세 번째 단락에서 언급 된 '특별한 것') 의 베이트 등 이상). [참고 : 장래에는이 ZCP 모델을 좌표 편이 할 때 발생하는 상관 관계와 구속되지 않은 상관 관계가있는 LME 모델이 변하지 않음을 증명하기 위해 도출 한 공식을 포함하도록이 답변을 꾸미겠습니다.]
베이츠 등의 결과는 오타 일뿐입니다. 대답, , 예측기와 동일한 치수 있어야 ( 일 시프트된다). wlog, 및 는 ( 와 같은 치수 ) 를 갖는 의 단일 치수를 갖는 것으로 간주 될 수 있으므로 가 올바른 치수를 갖도록합니다. $\delta$ $x$ $\sigma_{intercept}$ $\rho$ $\sigma_{slope}$ $1/x$ $slope$ $\delta$

— 클레어
소스