분포의 푸리에 변환

정규 분포 와 일반화 아크 사인 분포 외에 어떤 분포가 자체 푸리에 변환 입니까?

distributions fourier-transform

— 닐 G
소스

의 푸리에 변환 이 경우, 여기서 . 역변환은 $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

푸리에 변환의 일부 속성은 다음과 같습니다.

의 푸리에 변환 은 $X(t)$ $x(-f)$
경우 의 실수에도 함수 후 의 실수에도 함수 . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

경우에 따라서, 의 실수에도 함수 다음 푸리에 실수 심지어 변환 함수의 인 $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

이제 가 추가 속성을 갖는 짝수 확률 밀도 함수 ( 모든 대해 라고 가정합니다 . 푸리에 변환 가 모든 대해 이라는 속성을 가지고 있다고 가정 합니다. 그러면 는 영역 갖는 음이 아닌 실수 함수 입니다. 즉, 는 이라는 속성을 가진 확률 밀도 함수입니다. $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . 이러한 함수 쌍의 한 예는 OP Neil G 인용 한 정규 분포입니다. 또 다른 예는

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

이제 는 푸리에 변환이 인 혼합 밀도입니다. 이며 동일한 혼합물 밀도. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

따라서, 가 푸리에 변환 가 밀도 함수 인 밀도 함수이면, 혼합 밀도 함수 는 자체 푸리에 변환입니다. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

마지막 두 자신 퓨리에 변환 예이다 밀도 주어진 와 , 모든 혼합물 밀도 여기서 는 자체 푸리에 변환 인 밀도 함수입니다. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α {엑스}_{1} (티) + (1 - α) [\frac{1}{2} {엑스}_{2} (티) + \frac{1}{2} {엑스}_{2} (티)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— 디립 사르 베이트
소스

(+1) 이것은 매우 영리합니다. 유효한 변환 쌍을 보장하려면 에 대한 통합 조건이 필요합니다 . 즉, 는 명시된 반전이 적절한 밀도를 회복하도록 보장합니다. 어떤 의미에서는 나중에 이러한 조건을 사용합니다. (나는 이미 에 대한 비 음성 제약이 적용되었다고 가정 하였으므로 모듈러스가 필요하지 않다.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— 추기경