다단계 혼합 효과 모델에 대한 수학 방정식 작성

이력서 질문

혼합 효과 모델에 대해 (a) 상세하고 간결한 수학적 표현을 제공하려고합니다. lme4R 에서 패키지를 사용하고 있습니다. 모델에 올바른 수학 표현은 무엇입니까?

데이터, 과학 질문 및 R 코드

내 데이터 세트는 다른 지역의 종으로 구성됩니다. 종의 유병률이 멸종 (멸종이 반드시 영구적 일 필요는 없으며, 재 식민지화 될 수 있음)으로 이어 지거나 식민지화로 이어지는 시간에 변화가 있는지 테스트하고 있습니다.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

유병률 은 지역 연도에 한 종이 차지하는 지층의 비율입니다
시간 은 멸종 또는 식민지 시간을 나타내는 연속 변수입니다. 항상 긍정적이다
유형 은 두 가지 수준의 범주 형 변수입니다. 이 두 수준은“-”및“+”입니다. type이-이면 콜로니 화 (기본 수준)입니다. type이 +이면 멸종입니다.
Reg 는 지역을 나타내는 9 단계의 범주 형 변수입니다.
Spp 는 범주 형 변수입니다. 레벨 수는 지역마다 다르며 48 레벨과 144 레벨 사이에서 다릅니다.

즉, 반응 변수는 유병률 (점유 비율)입니다. 고정 효과에는 1) 및 인터셉트, 2) 이벤트 발생 시간 및 3) 이벤트 시간과 이벤트 유형 (식민지 또는 멸종) 간의 상호 작용이 포함되었습니다. 이 3 가지 고정 효과는 지역마다 무작위로 다양합니다. 한 지역 내에서 각 효과는 종마다 무작위로 다양합니다.

모델의 수학 방정식을 작성하는 방법을 알아 내려고합니다. 나는 R 코드에서 무슨 일이 일어나고 있는지 이해한다고 생각합니다 (그러나 나는 약간의 지식 격차가 있다고 확신하지만 공식적인 수학적 표현을 작성하면 이해력이 향상 될 것입니다).

나는 웹 과이 포럼을 통해 상당히 많이 검색했습니다. 나는 많은 유용한 정보를 찾았다. 그러나 R 코드의 "Rosetta Stone"이 수학으로 변환되어 코드에 더 익숙하다는 것을 알 수 없었습니다.이 방정식이 제대로되었는지 확인하는 데 실제로 도움이됩니다. 실제로, 나는 이미 약간의 차이가 있다는 것을 알고 있지만, 우리는 그것에 도달 할 것입니다.

나의 시도

표기법 (내 이해)는 매트릭스 형으로 혼합 효과 모델의 기본 형태 :

와이 = 엑스 β + 지 γ + ϵ

$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$

엑스 = [\begin{matrix} 1 & Δ 티 & Δ 티_{+} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & Δ 티_{엔} & Δ 티_{+, 엔} \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$

β^{^{'}} = [\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]

$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$

지 = [\begin{matrix} 1 나는 ({아르 자형}_{1}) & Δ 티 나는 ({아르 자형}_{1}) & Δ 티_{+} 나는 ({아르 자형}_{1}) & \dots & 1 나는 ({아르 자형}_{9}) & Δ 티 나는 ({아르 자형}_{9}) & Δ 티_{+} 나는 ({아르 자형}_{9}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 나는 ({아르 자형}_{1, 엔}) & Δ 티_{엔} 나는 ({아르 자형}_{1, 엔}) & Δ 티_{+, 엔} 나는 ({아르 자형}_{1, 엔}) & \dots & 1 나는 ({아르 자형}_{9, 엔}) & Δ 티 나는 ({아르 자형}_{9, 엔}) & Δ 티_{+, 엔} 나는 ({아르 자형}_{9, 엔}) \end{matrix}]

$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$

γ^{^{'}} = [\begin{matrix} γ_{0, 1} & γ_{1, 1} & γ_{2, 1} & \dots & γ_{0, 9} & γ_{1, 9} & γ_{2, 9} \end{matrix}]

$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$

ϵ \sim 엔 (0, Σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$

$X$ $\Delta t$ time $\Delta t_{+}$ time:type
$Z$
$\beta$ $\gamma$
$\epsilon$ $\Sigma$

지금까지 일이 정확하다고 가정하면, 나는 최상위에 능숙하다는 것을 의미합니다. 그러나 각 지역 내에 중첩 된 매개 변수에 대한 종별 변형을 설명하면 더 많은 문제가 발생했습니다.

그러나 나는 아마도 이해가되는 무언가에 균열을 일으켰습니다 ...

$\gamma$ $\gamma$

- $U_{p,r}$ $r$ $p$ $b_{p,r}$ $S$ $\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

γ_{0, 아르 자형} = 유_{0, 아르 자형} 비_{0, 아르 자형} + η_{0, 아르 자형}

$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$

γ_{0, 아르 자형} = [\begin{matrix} 1 나는 ({에스}_{1}) \dots 1 나는 ({에스}_{에스}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 비_{0, 1} \\ ⋮ \\ 비_{0, 에스} \end{matrix}] + η_{0, 아르 자형}

$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$

γ_{1, 아르 자형} = 유_{1, 아르 자형} 비_{1, 아르 자형} + η_{1, 아르 자형}

$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$

γ_{1, 아르 자형} = [\begin{matrix} Δ 티 나는 ({에스}_{1}) \dots Δ 티 나는 ({에스}_{에스}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 비_{1, 1} \\ ⋮ \\ 비_{1, 에스} \end{matrix}] + η_{1, 아르 자형}

$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$

γ_{2, 아르 자형} = 유_{2, 아르 자형} 비_{2, 아르 자형} + η_{2, 아르 자형}

$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$

γ_{2, 아르 자형} = [\begin{matrix} Δ 티_{+} 나는 ({에스}_{1}) \dots Δ 티_{+} 나는 ({에스}_{에스}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} 비_{2, 1} \\ ⋮ \\ 비_{2, 에스} \end{matrix}] + η_{2, 아르 자형}

$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$ $\epsilon$ $\Sigma$ $G$

편집 : 다소 도움이 된 다른 Q / A

이 Q / A는 훌륭했지만 전체 매트릭스 형태로 내용을 쓰지 않았습니다.

r mixed-model multilevel-analysis lme4-nlme

— 라트
소스

이 백서가 귀하의 질문에 대한 "답변"을 가지고있는 것은 의심 스럽지만 HMM 모형 방정식의 입문서가되었습니다. 그것이 SAS에 뿌리를두고 있다는 사실을 잊어라.이 모델 클래스에 대한 훌륭한 개요 일 뿐이다. Judith Singer, SAS Proc 혼합을 사용하여 다단계 모델, 계층 적 모델 및 개별 성장 모델에 적합 , JEBS , Winter 1998, vol. 24, No. 4, 323-355 쪽.

— Mike Hunter

당신은 2.3 절을 읽게 여기 ?

— Robert Long

나는 그것들을 읽었고, 그와 같은 자원이 나를 멀리 얻었다. 계속 노력해야 할 수도 있지만 현재 접근 방식에 대한 충분한 자신감을 가질만큼 복잡한 예를 찾을 수 없었습니다.

— rbatt

내가 이해하는 한 "nesting"은 lmer 모델의 상호 작용입니다. 이 개념은 동일한 구문을 사용하여 강화됩니다. 따라서 reg : spp는 단일 범주 형 변수와 Z의 또 다른 블록 집합으로 처리 할 수 있다고 생각합니다.

— deasmhumnha

또한 lmer가 완벽한 공선 성을 피하고 추가 변수 내에 비 중복 상호 작용 만 포함한다고 가정합니다.

— deasmhumnha

코드를 올바르게 이해했다면 왜 단순히

{와이}_{나는} = (α + ν_{제이 [나는]}^{(α)} + η_{케이 [나는]}^{(α)}) + (β + ν_{제이 [나는]}^{(β)} + η_{케이 [나는]}^{(β)}) 티_{나는} + (δ + ν_{제이 [나는]}^{(δ)} + η_{케이 [나는]}^{(δ)}) (티_{나는} ※ 지_{나는}) + ϵ_{나는}

$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$

\begin{aligned} [ν_{제이}^{(α)}, ν_{제이}^{(β)}, ν_{제이}^{(δ)}] & \sim 멀티 노멀 (0, Σ_{ν}) \\ [η_{제이}^{(α)}, η_{제이}^{(β)}, η_{제이}^{(δ)}] & \sim 멀티 노멀 (0, Σ_{η}) \\ ϵ_{나는} & \sim 표준 (0, σ_{ϵ}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$

{와이}_{나는} = α_{제이 [나는], 케이 [나는]} + β_{제이 [나는], 케이 [나는]} 티_{나는} + δ_{제이 [나는], 케이 [나는]} (티_{나는} ※ 지_{나는}) + ϵ_{나는}

$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$

\begin{aligned} α_{제이 [나는], 케이 [나는]} & = α + ν_{제이}^{(α)} + η_{케이}^{(α)} \\ β_{제이 [나는], 케이 [나는]} & = β + ν_{제이}^{(β)} + η_{케이}^{(β)} \\ δ_{제이 [나는], 케이 [나는]} & = δ + ν_{제이}^{(δ)} + η_{케이}^{(δ)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$

— Baruuum
소스