공동 완성 된 충분한 통계 : 통일 (a, b)

하자 $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ 의 균일 한 분포로부터 임의의 샘플 수 $(a,b)$ , . 하자 과 최대 및 최소 주문 통계를합니다. 통계량 이 매개 변수 대해 공동으로 충분한 통계량 임을 보여줍니다. $a < b$ $Y_1$ $Y_n$ $(Y_1, Y_n)$ $\theta = (a, b)$ .

인수 분해를 사용하여 충분 함을 나타내는 것은 문제가되지 않습니다.

질문 : 완전성을 어떻게 표시합니까? 바람직하게는 힌트를 원합니다.

시도가 I 보여줄 수 $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ 을 의미 $g(T(x)) = 0$ 한 파라미터 균일 분배하지만 두 파라미터 균일 분포에 갇히지하고있다.

내가 놀아 시도 $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ 과의 공동 분포를 사용하여 $Y_1$ 과 $Y_n$ 하지만, 내가 올바른 방향으로 갈거야 경우 수학이 나를 트립 될 때 나는 확실하지 않다.

— emlu
소스

[self-study]태그를 추가 하고 위키를 읽으십시오 .

$x$ 생성 하는 등 달러를 넣어 수학에 라텍스 형식을 사용할 수 있습니다 . 나는 당신의 수학 중 일부를 조판하려고 노력했지만 결과에 만족하지 않으면 자유롭게 변경하거나 되돌릴 수 있습니다. 당신은 표기법을 선호 할 에 대한

대신 에

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— 실버 피쉬

일상적인 미적분학을 처리하여 문제의 핵심에 도달하고 솔루션을 공식화 할 수 있습니다. 직사각형을 삼각형으로 구성하고 조합으로 직사각형을 구성합니다.

먼저, 세부 사항을 최대한 간단하게하는 와 값을 선택하십시오 . $a$ $b$ 나는 좋다 : 의 모든 성분의 일 변량 밀도 는 간격 의 지표 함수일 뿐이다 . $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

의 분포 함수 를 찾으십시오 . $F$ $(Y_1,Y_n)$ 정의상, 실수 경우 $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

또는 가 간격을 벗어난 경우 값 은 분명히 또는 이 간격에 있다고 가정합시다. ( 사소한 논의를 피하기 위해 라고 가정하자 .)이 경우 이벤트 은 원래 변수 관점 에서 " 동일하다보다 작거나 과 전혀 초과하지 . " 마찬가지로 모든 는 $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ 그러나 그들 모두가 있는 경우는 아니다 . $(y_1,y_n]$

는 독립적 이기 때문에, 방금 언급 한이 두 가지 사건에 대해 확률이 곱하여 및 을 각각줍니다. 그러므로, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

밀도 는 의 혼합 부분 미분입니다 . $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

위한 일반적인 경우 인자에 의해 스케일링 변수 의해 위치 이동 . $(a,b)$ $b-a$ $a$ 따라서 경우 $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

우리가 얻기 전에 차별화

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

완전성의 정의를 고려하십시오. 를 두 개의 실제 변수의 측정 가능한 함수로 하자 . 정의에 따라 $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

$(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

$h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

$h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

$(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

$n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

$(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

$h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

이 그림에서 직사각형은 겹치는 빨간색과 녹색 삼각형을 제거하고 (갈색 교차점을 두 번 세는) 큰 삼각형에서 남은 것입니다.

$h$ $h(x,y)$ $y \gt x$

— 우버
소스

방정식 3을 0으로 설정하고 양측에서 도함수를 취하고 부호 (반사 동작)를 바꾸려고했지만 결과는 매우 무섭게 보입니다 [1]. 보다 합리적인 접근 방식이 있습니까? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— mugen

그림에서 빗변을 따라 놓여있는 더 작고 작은 삼각형의 유한 모음을 고려하고 모음에서 가장 큰 삼각형의 직경이 0이 될 때 한계를 취하십시오.

— whuber