개별 레벨 패널 데이터로 차이 모델의 차이를 지정하는 올바른 방법은 무엇입니까?

설정은 다음과 같습니다. 여러 해 동안 도시에 개별 수준의 패널 데이터가 포함되어 있으며 처리는 도시 수준에 따라 다르다고 가정하십시오. 공식적으로하자 개인에 대한 결과가 될 나는 도시 의 연도 t 와 D 의 t 에 대한 더미가 될 개입의 영향을 도시 여부 의 에서 년 t . Bertrand et al (2004, p. 250)에 요약 된 것과 같은 전형적인 DiD 추정기는 도시와 연도에 대한 고정 효과 항을 가진 간단한 OLS 모델을 기반으로합니다.$y_{ist}$$i$$s$$t$$D_{st}$$s$$t$

$$y_{ist} = A_{s} + B_t + cX_{ist} + \beta D_{st} + \epsilon_{ist}$$

그러나 그 추정기는 개별 수준의 패널 구조 (예 : 도시 내 각 개인에 대한 다중 관측치)를 무시합니까? 개별 수준의 고정 효과 항 로이 모델을 확장하는 것이 합리적 입니까? 많은 DiD 응용 프로그램은 개별 레벨 패널 데이터없이 반복적 인 단면 데이터를 사용합니다.$S_i$

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베르트랑, 마리안, 에스더 듀플로, 센딜 물 라이나 단. 2004.“차이 추정치 차이를 얼마나 신뢰해야합니까?” Quarterly Journal of Economics 119 (1) : 249–75.

차이 차이 (DiD)의 좋은 기능은 실제로 패널 데이터가 필요 없다는 것입니다. 치료가 일종의 집계 수준 (귀하의 도시에서는)에서 발생한다고 가정하면 치료 전후에 도시에서 무작위로 개체를 샘플링하기 만하면됩니다. 이를 통해 를 추정 할 수 있습니다

$$y_{ist} = A_g + B_t + \beta D_{st} + c X_{ist} + \epsilon_{ist}$$ 치료에 대한 예상 사후 결과 차이에서 대조군에 대한 예상 사후 결과 차이를 뺀 것으로 치료의 인과 적 효과를 얻는다.

$$y_{it} = \alpha_i + B_t + \beta D_{it} + cX_{it}+\epsilon_{it}$$ $D_{it}$ Steve Pischke가

$A_g$

다음은 이것이 사실임을 보여주는 코드 예제입니다. Stata를 사용하지만 선택한 통계 패키지에서이를 복제 할 수 있습니다. 여기서 "개인"은 실제로 국가이지만 일부 치료 지표에 따라 그룹화되어 있습니다.

* load the data set (requires an internet connection)
use "http://dss.princeton.edu/training/Panel101.dta"

* generate the time and treatment group indicators and their interaction
gen time = (year>=1994) & !missing(year)
gen treated = (country>4) & !missing(country)
gen did = time*treated

* do the standard DiD regression
reg y_bin time treated did

------------------------------------------------------------------------------
       y_bin |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        time |       .375   .1212795     3.09   0.003     .1328576    .6171424
     treated |   .4166667   .1434998     2.90   0.005       .13016    .7031734
         did |  -.4027778   .1852575    -2.17   0.033    -.7726563   -.0328992
       _cons |         .5   .0939427     5.32   0.000     .3124373    .6875627
------------------------------------------------------------------------------

 * now repeat the same regression but also including country fixed effects
 areg y_bin did time treated, a(country)

------------------------------------------------------------------------------
       y_bin |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
        time |       .375    .120084     3.12   0.003     .1348773    .6151227
     treated |          0  (omitted)
         did |  -.4027778   .1834313    -2.20   0.032    -.7695713   -.0359843
       _cons |   .6785714    .070314     9.65   0.000       .53797    .8191729
-------------+----------------------------------------------------------------

따라서 개별 고정 효과가 포함 된 경우 DiD 계수가 동일하게 유지됩니다 ( aregStata에서 사용 가능한 고정 효과 추정 명령 중 하나임). 표준 오차는 약간 더 엄격하며, 원래의 치료 지표는 개별 고정 효과에 의해 흡수되어 회귀에서 떨어졌습니다.

의견에 응답하여
사람들이 치료 그룹 지표가 아닌 개별 고정 효과를 사용할 때를 보여주는 Pischke 예제를 언급했습니다. 설정에는 그룹 구조가 잘 정의되어 있으므로 모델을 작성하는 방식이 완벽합니다. 표준 오류는 도시 수준, 즉 처리가 수행되는 집계 수준에서 클러스터되어야합니다 (예제 코드에서는이 작업을 수행하지 않았지만 DiD 설정에서는 표준 오류를 Bertrand et al 논문에서 입증 된대로 수정해야 함) ).

$D_{st}$$s$$t$

$$c = \left[ E(y_{ist}|s=1,t=1) - E(y_{ist}|s=1,t=0)\right] - \left[ E(y_{ist}|s=0,t=1) - E(y_{ist}|s=0,t=0)\right]$$

$E(y_{ist}|s=1,t=1)$$E(y_{ist}|s=0,t=1)$. 발동기가 아닌 시간에 따른 그룹 차이에서 식별이 발생하는 이유를 명확하게하기 위해 간단한 그래프로이를 시각화 할 수 있습니다. 결과의 변화가 진정 치료 때문이고 동시에 효과가 있다고 가정하십시오. 치료가 시작된 후 치료 도시에 거주하지만 통제 도시로 이사하는 개인이있는 경우, 결과는 치료 전 상태로 되돌아 가야합니다. 아래 양식화 된 그래프에 나와 있습니다.

그래도 다른 이유로 이동자들에 대해 생각하고 싶을 수도 있습니다. 예를 들어, 치료에 지속적인 효과가있는 경우 (즉, 개인이 움직여도 여전히 결과에 영향을 미침)

짧은 대답은 단위 또는 치료 그룹 수준에서 고정 효과를 사용하는 것이 추정을 변경하지 않고 추론 만 변경한다는 것입니다. 일반적으로 단위 고정 효과를 사용하면 더 많은 변형이 흡수되므로 표준 오류가 더 작아집니다.

단위가 동일한 집계 그룹에 있는지 여부는이 결과를 변경하지 않습니다 ( 처리 된 그룹 레벨 정의 방법 및 반복되는 단면 대신 패널이 필요하다는 사실 만 변경됨 ).

그러나 공변량 X가없는 경우에만 동등성이 유지됩니다. X가있는 즉시 단위 효과 또는 그룹 고정 효과 사용 여부에 따라 결과가 다릅니다.

아래의 예는 두 가지 경우에 X가 있거나없는 세 가지 추정기를 비교합니다.

1. OLS
2. (처리 된) 그룹 고정 효과를 갖는 FE
3. 단위 고정 효과가있는 FE

#>              OLS         FE treated  FE unit   OLS x       FE treated x  FE unit x
#> ----------------------------------------------------------------------------------
#> (Intercept)   0.500 ***                         0.491 ***                         
#>              (0.094)                           (0.107)                            
#> did          -0.403 *    -0.403 *    -0.403 *  -0.407 *    -0.407 *      -0.460 * 
#>              (0.185)     (0.185)     (0.183)   (0.189)     (0.189)       (0.187)  
#> x1                                              0.018       0.018         0.220   
#>                                                (0.104)     (0.104)       (0.165)  
#> ----------------------------------------------------------------------------------
#> Num. obs.    70          70          70        70          70            70       
#> ==================================================================================
#> *** p < 0.001, ** p < 0.01, * p < 0.05

암호:

library(tidyverse)
library(haven)
library(texreg)
library(lfe)


dat <- read_dta("http://dss.princeton.edu/training/Panel101.dta")  %>% 
  mutate(time = (year>=1994) ,
         treated = (country>4),
         did = time*treated)

reg_ols <- lm(y_bin~ time+ treated+ did, data = dat)
reg_fe_a <- felm(y_bin~ did | time+ treated, data = dat)
reg_fe_b <- felm(y_bin~ did | time+ country, data = dat)

reg_ols_x <- update(reg_ols, .~.+x1)
reg_fe_a_x <- update(reg_fe_a, .~.+x1)
reg_fe_b_x <- update(reg_fe_b, .~.+x1)



screenreg(list(reg_ols, reg_fe_a, reg_fe_b, reg_ols_x, reg_fe_a_x, reg_fe_b_x), 
          omit.coef = "time|treated", digits=3, 
          include.rsquared = FALSE, include.adjrs = FALSE, include.rmse = FALSE,
          custom.model.names = c("OLS", "FE treated", "FE unit", "OLS x", "FE treated x", "FE unit x"))