누군가 독립과 무작위의 차이점을 설명하는 데 도움이 될 수 있습니까?

통계에서 독립 및 무작위는 동일한 특성을 설명합니까? 그들 사이의 차이점은 무엇입니까? 우리는 종종 "두 개의 독립적 인 랜덤 변수"또는 "무작위 샘플링"과 같은 설명을 접하게됩니다. 나는 그들 사이의 정확한 차이점이 무엇인지 궁금합니다. 누군가 이것을 설명하고 몇 가지 예를 들어 줄 수 있습니까? 예를 들어 비 독립적이지만 무작위적인 프로세스?

나는 그것을 기술적이지 않은 용어로 설명하려고 노력할 것이다 : 랜덤 변수는 실험의 결과를 설명한다; 정확한 결과가 무엇인지 미리 알 수는 없지만 몇 가지 정보가 있습니다. 어떤 결과가 가능한지 알고 각 결과에 대한 확률을 알고 있습니다.

예를 들어, 공정한 동전을 던지면 머리 나 꼬리를 얻을지 미리 알지 못하지만 이것이 가능한 결과라는 것을 알고 각각 50 %의 확률이 있음을 알고 있습니다.

독립성을 설명하기 위해서는 두 개의 공정한 동전을 던져야합니다. 첫 번째 동전을 던진 후 두 번째 던지기의 경우 머리의 확률은 여전히 ​​50 %이며 꼬리도 있습니다. 첫 번째 던지기가 두 번째 던지기의 확률에 영향을 미치지 않으면 두 던지기는 모두 독립적입니다. 첫 번째 던지기가 두 번째 던지기의 확률에 영향을 미치는 경우, 그것들은 의존적입니다.

의존성 토스의 예는 두 개의 동전을 서로 붙일 때입니다.

랜덤 은 랜덤 변수 와 관련이 있으며 독립적 은 확률 적 독립 과 관련이 있습니다. 으로 독립 우리는 하나 개의 변수를 관찰하는 것은 우리에게 또 다른에 대해 아무것도 말할 경우, 또는 형식적인 측면에서하지 않는 것을 의미하는 와 임의의 두 변수는, 우리는 그들이 경우 독립적 말$X$$Y$

그 위에

공분산은 0입니다. 랜덤 변수 에 의존 가 기록 될 수있는 경우 함수로써 의X $Y$$X$$X$

따라서이 경우 는 무작위 이며 의존 합니다 .$Y$$X$

"독립적이지 않은"프로세스를 호출하는 것은 오해의 소지가 있습니다. 일부 프로세스에서 나오는 독립적이고 동일하게 분포 된 무작위 변수 ( here 또는 here )가 있음 을 의미한다고 생각합니다 . 독립적으로 우리는 여기서 서로 독립적이라는 것을 의미합니다. 종속 랜덤 변수를 생성하는 프로세스가 있습니다. 예 :$X_1,\dots,X_k$

여기서 는 임의의 노이즈입니다. 분명히 그러한 경우에 X i 는 X i - 1 에 의존 하지만, 또한 임의적입니다.$\varepsilon$$X_i$$X_{i-1}$

변수는 모든 수학 분야에서 사용됩니다. 변수의 독립성과 무작위성에 대한 정의는 통계뿐만 아니라 모든 형태의 수학에 일방적으로 적용됩니다.

예를 들어, 2 차원 유클리드 기하학의 X 및 Y 축은 독립 변수를 나타내지 만 해당 값은 (일반적으로) 임의로 할당되지 않습니다.

주어진 두 변수는 무작위이거나, 서로 독립적이거나, 또는 둘 다 또는 둘 다일 수 있습니다. 통계는 무작위성 (보다 정확하게 확률에)에 초점을 맞추는 경향이 있으며, 두 변수가 독립적인지 여부는 주어진 결과의 확률에 많은 영향을 미칠 수 있습니다.

통계를 연구 할 때이 두 가지 특성 (독립성 및 임의성)이 함께 설명되는 경향이 있습니다. 두 가지 특성 모두 알고 있어야하며 현재 질문에 대한 답변에 영향을 줄 수 있기 때문입니다. 그러나 이러한 속성은 동의어가 아니며 다른 수학 분야에서는 반드시 함께 발생하지는 않습니다.

독립의 개념은 상대적이며, 당신은 혼자서 무작위로 할 수 있습니다. 귀하의 예에는 "두 개의 독립적 인 랜덤 변수"가 있으며 여러 개의 "임의 샘플링"에 대해 이야기 할 필요가 없습니다.

$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

하나가 두 개의 주사위를 병렬로 캐스트하면 (그들 사이의 상호 작용없이), 각각의 시퀀스는 무작위 적이며 독립적입니다.

첫 번째 값이 임의로 생성되고 두 번째 값이 첫 번째 값에 종속 될 때 값 쌍이있는 경우 예를 들어 남자의 키와 몸무게. 그들 사이에는 상관 관계가 있습니다. 그러나 그들은 모두 무작위입니다.

코인 예제는 랜덤하고 독립적 인 변수를 잘 보여줍니다. 랜덤하지만 종속적 인 변수를 생각하는 좋은 방법은 7 개의 카드 놀이 카드에서 뽑은 다음 카드 일 것입니다. 카드는 이전에 처리 한 카드에 따라 달라 지지만 신발에 단 하나의 카드 값만 남을 때까지 다음에 올 카드의 값은 임의로 유지됩니다.

David Bohm은 자신의 작업에서 현대 물리학의 인과성 및 기회 (London : Routledge, 1957/1984)에서 인과성, 기회, 임의성 및 독립성을 설명합니다.

"자연은 변함이 없다. 모든 것은 변혁, 운동, 변화의 영원한 상태에있다. 그러나, 우리는 이전에 존재했던 선행사가 없었을 때 아무것도 아무것도 나오지 않는다는 것을 발견했다. 마찬가지로, 흔적없이 사라지는 것도 없다. 그것이 나중에 존재하는 것을 절대로 일으키지 않는다는 의미. .... 모든 것이 다른 것에서오고 다른 것에서 생긴다.이 원리는 아직 자연에서 인과성의 존재에 대한 진술이 아니다. 다음 단계는 광범위한 조건에서 발생하는 프로세스를 연구 할 때 변화와 변환의 복잡한 모든 과정에서 관계 가 있음을 발견합니다.효과적으로 일정하게 유지됩니다. .... 그러나이 시점에서 우리는 새로운 문제를 만납니다. 인과 법의 필요성은 절대적인 것이 아닙니다. 따라서 우리는 우발적 인 상황 에서 추상화되는 경우에만 자연 법칙을 생각해야하며 , 고려중인 법에 의해 처리 될 수있는 것들의 범위 밖에서 존재할 수 있고 본질적으로 따르지 않는 본질적으로 독립적 인 요소들을 나타냅니다. 이 법률의 맥락에서 명시 될 수있는 모든 것. 그러한 비상 사태는 우연에 이르게한다.”(pp.1-2)

"주어진 맥락 밖에서 일어나는 우연한 상황이 그 맥락 안에서 일어나는 일과 무관하게 변동하는 경향은 그 자체가 원칙으로서, 즉 무작위의 원칙으로 선언 할 수있을 정도로 널리 퍼져 있음을 보여줍니다. 무작위성에 의해 우리는 단지이 독립이 이끈다는 것을 의미합니다 광범위한 가능성에 대해 매우 복잡한 방식으로 이러한 우발 사태의 변동에 통계적 평균이 규칙적이고 대략적으로 예측 가능한 행동을 갖는 방식으로 변동합니다. " (p.22)