균일 분포에서 지수 분포로 또는 그 반대로

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이것은 아마도 사소한 질문,하지만 내 검색을 포함, 지금까지 열매를 맺지되었습니다 이 위키 피 디아 기사 및 "배포판의 대요" 문서 .

경우 균일 한 분포를 가지고, 그 의미 하는가 지수 분포에 따른? $X$ $e^X$

마찬가지로 가 지수 분포를 따르는 경우 가 균일 분포를 따른다 는 것을 의미 합니까? $Y$ $ln(Y)$

— 루코 나쵸
소스

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왜 그렇게 기대하겠습니까? 이름 때문에? en.wikipedia.org/wiki/… 를 확인 하여 다른 분포가 지수와 어떻게 관련되는지 확인하십시오 . 또한 ...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— Tim

아니요, 표준 함수 변환을 사용하여 유추를 따르고 있으며 분포를 사용하면 상황이 다릅니다.

— luchonacho

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균일 랜덤 변수를 지수화하는 것이 지수를 제공하거나 지수 랜덤 변수의 로그를 취하는 것이 유니폼을 생성하는 경우는 아닙니다.

하자 에 균일 및하자 . $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

따라서 입니다. $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

이것은 지수 변이가 아닙니다. 유사한 계산은 지수의 로그가 균일하지 않음을 보여줍니다.

하자 있으므로, 기준 지수 일 . $Y$ $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

하자 . 그런 다음 . $V=\ln Y$ $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

이것은 유니폼이 아닙니다. (실제로 는 Gumbel 분산 랜덤 변수이므로 분포를 '플립 Gumbel' 이라고 부를 수 있습니다 .) $-V$ $V$

그러나 각각의 경우 무작위 변수에 대한 경계를 고려하여 더 빨리 볼 수 있습니다. 경우 균일 (0,1) 인는 0 내지 1이므로 놓여 사이에 위치 과 가 지수하지 그래서 .... 마찬가지로, 지수의 경우, 는 에 있으므로 균일 (0,1) 일 수 없으며 실제로 다른 유니폼 일 수도 없습니다. $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

또한 시뮬레이션 할 수 있으며 바로 다시 볼 수 있습니다.

먼저 유니폼을 기르기

[파란색 곡선은 위에서 설명한 밀도 (표시된 간격에서 1 / x)입니다 ...]

둘째, 지수의 로그 :

우리가 볼 수있는 것은 유니폼과는 거리가 멀다! (우리가 이전에 작업 한 cdf를 차별화하여 밀도를 제공하면 여기에서 보이는 모양과 일치합니다.)

실제로 역 cdf 방법 은 균일 (0,1) 변량 의 로그 의 음수를 취하면 표준 지수 변이를 제공하고 반대로 표준 지수의 음수를 지수화하면 균일 함을 나타냅니다. [또한 확률 적분 변환 참조 ]

이 방법은 이면 입니다. cdf의 역함수를 표준 유니폼 인 대한 변환으로 적용하면 결과 랜덤 변수에 분포 함수 있습니다. $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

우리가 할 수있는 경우 균일 (0,1), 다음 . 이라고하자 . ( 는 (0,1)에서도 균일하므로 실제로 허용 할 수는 있지만 여기서는 역 cdf 방법을 완전히 따르고 있습니다) $U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

그런 다음 는 표준 지수의 cdf입니다. $P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[ 역 cdf 변환 의이 특성은 변환이 실제로 지수 분포를 얻기 위해 필요한 이유이며, 확률 적분 변환은 음의 지수의 음을 지수화하는 것이 다시 균일하게되는 이유입니다.] $\log$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

좋은 답변입니다! 감사. 나는 지금 본다. 두 경우 모두 CDF를 계산했으며 전자의 경우 로그의 음수와 후자의 경우 역의 절대 값을 얻습니다. 나는 혼란이 표준 함수 변환의 관점에서 생각하고 있다고 생각합니다. 그래프 +1!

— luchonacho

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거의 앞뒤로 가지고 있습니다. 당신은 물었다 :

" 가 분포가 균일하면 가 지수 분포를 따른다 는 것을 의미 합니까?" $X$ $e^X$
" 가 지수 분포를 따른 다면 , 가 균일 분포를 따른다 는 것을 의미 합니까?" $Y$ $\ln(Y)$

사실로

만약 에 균일 다음 다음 지수 분포 파라미터와 $X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
만약 파라미터 지수 분포는 다음 후 에 균일 한 분포를 갖는다 . $Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

더 일반적으로 말할 수 있습니다 :

만약 에 균일 다음 레이트 파라미터와 지수 분포는 다음 $X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
만약 레이트 파라미터와 지수 분포는 다음 다음 에 균일 한 분포를 갖게된다 동안에 에 균일 한 분포가 $Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— 헨리
소스