Markov, Chebyshev 부등식이 엄격한 랜덤 변수

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Markov 또는 Chebyshev 부등식이 엄격한 임의 변수를 작성하는 데 관심이 있습니다.

간단한 예는 다음과 같은 임의 변수입니다.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ 입니다. 평균은 0이고 분산은 1이고 입니다. 이 랜덤 변수 체비 쇼프는 단단합니다 (평등하게 유지합니다). $P(|X| \ge 1) = 1$

P (| X | \geq 1) \leq \frac{Var (X)}{1^{2}} = 1

$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$

Markov와 Chebyshev가 꽉 찬 더 흥미로운 (비 균일) 랜덤 변수가 있습니까? 몇 가지 예가 좋을 것입니다.

— SPV
소스

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체비 쇼프 바운드의 제한 사례가 보유하는 분포 클래스는 잘 알려져 있습니다 (간단히 추측하기 어려운 것은 아닙니다). 위치 및 스케일에 대해 정규화 됨

Z = {\begin{cases} - k, & with probability \frac{1}{2 k^{2}} \\ 0, & with probability 1 - \frac{1}{k^{2}} \\ k, & with probability \frac{1}{2 k^{2}} \end{cases}

$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$

이것은 Chebyshev 불평등에 대한 Wikipedia 페이지에서 제공되는 솔루션 입니다.

[ 불균형을 엄격하게 만족시키고 제한적인 경우에 근접한 접근 방식으로 종점에서 균등하게 제거 된 더 많은 확률을 중심 에 배치함으로써 일련의 분포를 작성할 수 있습니다 .] $\epsilon>0$

보자 다른 용액이 위치와 크기 변화에 의해 얻어 질 수 . $X=\mu+\sigma Z$

마르코프 불평등의 경우그래서 확률을 가지고 0 및 에서 . (여기서는 위치 매개 변수가 아닌 스케일 매개 변수를 도입 할 수 있습니다) $Y=|Z|$ $1-1/k^2$ $1/k^2$ $k$

순간 불평등, 그리고 다른 많은 유사한 불평등은 한계 사례로서 불연속 분포를 갖는 경향이 있습니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

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체비 쇼프의 경계를 정확히 따르는 실제 축 전체에 연속 분포를 얻는 것은 불가능할 수 있다고 생각합니다.

연속 분포의 평균과 표준 편차가 0과 1이라고 가정하거나 크기 조정을 통해 변경합니다. 그런 다음 합니다. 간단히하기 위해 고려하십시오 . 음수 값은 대칭으로 정의됩니다. 그런 다음 분포의 CDF는 입니다. 따라서 cdf의 미분 인 pdf는 입니다. 분명히 이것은 불연속성 때문에 대해서만 정의되어야합니다 . 사실, 이것은 어느 곳에서나 사실이 될 수 없거나 PDF의 정수가 유한하지 않습니다. 불연속성을 회피 할 경우 대신에, (예를 들어 PDF 고양이는 0 일 ) PDF 파일은 불연속, 같아야에 대 $P(\mid X\mid >x)=1/x^2$ $x>0$ $1-1/x^2$ $2/x^3$ $x>0$ $\mid x \mid <\alpha$ $\mid x \mid^3$ $\mid x\mid \geq \alpha$ .

그러나이 분포는 가설에 실패합니다. 유한 분산은 없습니다. 유한 분산으로 실제 축에 연속 분포를 얻으려면 및 의 예상 값 이 유한해야합니다. 역 다항식을 조사하면 과 같은 꼬리 는 유한 이어지지 만 정의되지 않은 는 무정형 로그 동작과의 적분이 포함되므로 정의되지 않은 됩니다. $x$ $x^2$ $x^{-3}$ $E[x]$ $E[x^2]$

따라서 체비 쇼프의 경계는 정확하게 만족 될 수 없습니다. 그러나 임의로 작은 에는 이 필요할 수 있습니다 . pdf의 꼬리는 과 같 으며 순서로 정의 된 편차를 갖습니다 . $P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$ $\epsilon$ $x^{-(3+\epsilon)}$ $1/\epsilon$

배포가 실제 라인의 일부에만 적용되도록하려고하지만 여전히 연속적이라면 대해 을 정의 는 및 또는 그 선형 스케일링-기본적으로 이며 범위가별로 없습니다. 그리고이 제한이 여전히 원래의 동기와 일치하는지 의심 스럽습니다. $pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

ϵ = \sqrt{2 (1 - \frac{1}{\sqrt{e}})}

$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$

Λ = ϵ = \sqrt{2 (\sqrt{e} - 1)}

$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$

0.887 < | x | < 1.39

$0.887 < |x| < 1.39$

— jwimberley
소스

무한지지 연속 변수가 하한을 달성 할 수 없다는 것을 증명하는 것이 어렵다고 생각하지 않습니다.

— MichaelChirico

@MichaelChirico 나도 그렇게 생각하지 않습니다; 나는 그 노력을 겪고 싶지 않았습니다.

— jwimberley