로지스틱 성장 데이터 관련 오류 분포는 무엇입니까?

생태학에서는 종종 로지스틱 성장 방정식을 사용합니다.

또는

여기서 는 운반 용량 (최대 밀도 도달), 은 초기 밀도, 은 성장 속도, 는 초기 이후 시간입니다.$K$$N_0$$r$$t$

의 값은 소프트 상한 및 하한 을 가지며 강한 하한은 입니다.$N_t$$(K)$$(N_0)$$0$

또한, 내 특정 맥락에서, 측정은 광학 밀도 또는 형광을 사용하여 수행되며, 둘 다 이론상 최대 값을 가지며 따라서 강한 상한을 갖는다.$N_t$

따라서 주위의 오류 는 아마도 경계 분포에 의해 가장 잘 설명 될 것입니다.$N_t$

작은 값 에서는 분포가 강한 양의 스큐를 가질 수 있고 값이 K에 접근하면 분포는 강한 음의 스큐를 가질 수 있습니다. 따라서 분포는 아마도 연결될 수있는 모양 매개 변수를 가질 것 입니다.$N_t$$N_t$$N_t$

분산은 와 함께 증가 할 수도 있습니다 .$N_t$

다음은 그래픽 예입니다

와

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

r로 생산할 수있는

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• 주변의 이론적 오차 분포는 무엇입니까 (제공된 모델과 경험적 정보를 고려하여)?$N_t$

• 이 분포의 는 또는 시간 의 값과 어떤 관련이 (모수를 사용하는 경우 모드가 와 직접 연관 될 수없는 경우 ( 예 : logis normal))$N_t$$N_t$

• 이 분포에는 밀도 함수가 구현되어 있습니까?$R$

지금까지 살펴본 방향 :

• 주위의 정규성을 가정합니다 ( 초과 추정치에 )$N_t$$K$
• 주위의 정규 분포를 하지만 모양 매개 변수 알파 및 베타를 맞추는 데 어려움$N_t/max$
• 의 논리에 대한 정규 분포$N_t/max$

마이클 체 르닉 (Michael Chernick)이 지적했듯이, 확장 된 베타 배포판이 가장 적합합니다. 그러나 모든 실제적인 목적을 위해, 당신은 절대로모형을 완벽하게 구하면 로지스틱 성장 방정식에 따라 비선형 회귀를 통해 평균을 모델링하고 이분산성에 강한 표준 오차로 래핑하는 것이 좋습니다. 이것을 최대 가능성 컨텍스트에 넣으면 큰 정확성이라는 잘못된 느낌을 갖게됩니다. 생태 이론이 분포를 생성한다면, 그 분포에 적합해야합니다. 이론이 평균에 대한 예측 만 생성하는 경우이 해석을 고수하고 본격적인 분포와 같이 그 이상의 것을 시도하지 마십시오. (Pearson의 곡선 시스템은 100 년 전에는 분명히 환상적 이었지만, 임의의 프로세스는 밀도 곡선을 생성하기 위해 미분 방정식을 따르지 않습니다.$N_t$그 자체-나는 Poisson 분포를 예로 생각하고 있습니다-그리고이 효과가 스케일 된 베타 분포에 의해 포착 될 것이라고 확신하지는 않습니다. 반대로, 이론적 인 상한을 향해 평균을 끌어 당길 때 압축 될 수 있습니다. 귀하의 경우 측정 장치가 상위 측정의 경계하고있다, 그것은 의미하지 않는다 실제 과정상한이 있어야합니다. 차라리 공정이 합리적으로 정확하게 측정되는 상한선에 도달함에 따라 장치에서 발생하는 측정 오류가 중요하다고 말합니다. 측정을 기본 프로세스와 혼동하는 경우이를 명시 적으로 인식해야하지만 장치 작동 방식을 설명하는 것보다 프로세스에 더 큰 관심이 있다고 생각합니다. (이 과정은 지금부터 10 년이 될 것입니다. 새로운 측정 장치를 사용할 수있게되어 작업이 더 이상 사용되지 않을 것입니다.)

@whuber는이 모델의 구조적 부분과 오류 항의 분포와의 관계가 필요하지 않다는 점이 맞습니다. 따라서 이론적 오차 분포에 대한 귀하의 질문에 대한 답변이 없습니다.

이것은 좋은 질문이 아니라는 것을 의미하지는 않습니다. 단지 그 대답이 크게 경험적이어야한다는 것입니다.

당신은 임의성이 부가적인 것이라고 가정하는 것 같습니다. 나는 이것이 사실 일 이유가 없다 (계산 편의 이외). 모델 어딘가에 임의의 요소가있는 대안이 있습니까? 예를 들어, 평균이 평균 1 인 정규 분포로 랜덤 성이 도입되는 경우 다음을 참조하십시오. 나는 이것이 당신이보고 싶은 것과 일치하는 그럴듯한 결과를 만들어내는 것 이외의 것이 옳은 일이라고 생각할 이유가 없습니다. 내가 모르는 모델을 추정하기위한 기초로 이와 같은 것을 사용하는 것이 실용적인지 여부.

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))