정규 분포 오차와 중심 한계 정리

Wooldridge 's Introductory Econometrics에는 다음과 같은 인용문이 있습니다.

오류의 정규 분포를 정당화하는 인수는 대개 다음과 같이 실행됩니다. $u$ 영향을 미치는 여러 가지 관찰되지 않은 요소의 합입니다 $y$ 우리는 중앙 한계 정리를 호출하여 $u$ 근사 정규 분포가 있습니다.

이 인용문은 선형 모델 가정 중 하나와 관련이 있습니다.

$u \sim N(μ, σ^2)$

여기서 $u$ 는 모집단 모형의 오차항입니다.

내가 아는 한, Central Limit Theorem은

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(여기서 는 평균 및 분산이 모집단에서 추출한 임의 표본의 평균입니다 ) $\overline{Y_i}$ $μ$ $σ^2$

로 표준 정규 변수에 접근합니다 . $n \rightarrow \infty$

질문:

점근 적 정규성이 어떻게 $Z_i$ 의미 하는지 이해하도록 도와주세요. $u \sim N(μ, σ^2)$

— 거위
소스

이것은 CID의 결과를 iid 랜덤 변수의 합으로 표현함으로써 더 잘 이해 될 수있다. 우리는

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

곱해 몫 와 사실 사용 얻을 수를 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

이제 LHS 에 를 추가 하고 을 사용하십시오. $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

마지막으로 곱하고 위의 두 결과를 사용하여 $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

그리고 이것이 Wooldridge의 진술과 어떤 관련이 있습니까? 글쎄, 오류가 많은 iid 랜덤 변수 의 합 이라면 방금 본 것처럼 대략 정규 분포됩니다. 그러나 여기에는 문제가 있습니다. 즉 관찰되지 않은 요소가 반드시 똑같이 분포되지는 않으며 독립적이지 않을 수도 있습니다!

그럼에도 불구하고, CLT는 일부 추가 규칙 조건 하에서 독립적으로 동일하게 분포되지 않은 임의의 랜덤 변수 및 심지어 가벼운 의존성까지 성공적으로 확장되었습니다. 이것들은 본질적으로 그 합계의 어떤 용어도 점근선 분포에 비례하지 않는 영향을 미치지 않는다는 것을 보증하는 조건입니다 . CLT 의 Wikipedia 페이지 도 참조하십시오 . 물론 이러한 결과를 알 필요는 없습니다. Wooldridge의 목표는 단지 직관을 제공하는 것입니다.

도움이 되었기를 바랍니다.

— 존
소스

필자는 자신의 연구 분야에서 많은 임의의 변수 (적어도 모델링에 사용 된 변수)가 Cauchy 분포와 같은 1 차 모멘트를 정의하지 않았다고 덧붙입니다. 따라서 CLT는이 분야에서 신뢰할 수있는 것이 아닙니다.

— German Demidov