예측 및 공차 구간

예측 및 공차 구간에 대한 몇 가지 질문이 있습니다.

공차 구간의 정의에 먼저 동의합시다. 신뢰 수준, 예를 들어 90 %, 포착 할 모집단의 비율, 99 %, 표본 크기 (예 : 20)가 주어집니다. 확률 분포는 알려져 있습니다. 편의상. 이제 위의 세 가지 숫자 (90 %, 99 % 및 20)와 기본 분포가 정상이라는 사실을 고려하여 공차 수 계산할 수 있습니다 . 평균이 이고 표준 편차가 인 표본 이 주어지면 공차 구간은 입니다. 이 공차 구간이 모집단의 99 %를 차지하면 표본 성공 이라고합니다. $k$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $\bar{x}$ $s$ $\bar{x}\pm ks$ $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ 요구 사항은 샘플의 90 %가 성공하는 것 입니다.

의견 : 90 %는 표본이 성공할 수있는 선험적 확률입니다. 99 %는 표본이 성공한 경우 미래 관측치가 공차 구간에있을 것이라는 조건부 확률입니다.

내 질문 : 예측 구간을 공차 구간으로 볼 수 있습니까? 웹을 보면 아무도 예측 간격을주의 깊게 정의하지 않았다는 것은 말할 것도없이 이것에 대해 상충되는 답변을 얻었습니다. 따라서 예측 간격 (또는 참조)에 대한 정확한 정의가 있다면 감사하겠습니다.

내가 이해 한 것은 예를 들어 99 % 예측 간격이 모든 샘플에 대한 모든 미래 값의 99 %를 캡처하지 않는다는 것 입니다. 이것은 모집단의 99 %를 100 % 확률로 포착하는 공차 구간과 같습니다.

90 % 예측 구간에 대해 찾은 정의에서 90 %는 표본이 주어진 사전 확률 예 : (크기는 고정됨) 및 단일 미래 관측 값 입니다. 는 예측 구간에 있습니다. 따라서 샘플과 미래 값이 모두 공차 간격과 달리 샘플이 주어지고 특정 확률로 성공하는 경우와 샘플이 일치하는 조건 에서 동시에 주어진 것처럼 보입니다. 성공 $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$ $y$ $y$ 미래 값이 주어지고 특정 확률로 공차 구간에 속합니다. 예측 간격의 위의 정의가 올바른지 확실하지 않지만 (최소한) 반 직관적 인 것처럼 보입니다.

어떤 도움?

prediction prediction-interval tolerance-interval

— 요 아니스 소울 다 토스
소스

정규 표본 추출에 대한 단측 공차 구간은이 개념을 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다. 상부 바인딩 -tolerance 아무것도 없지만 상위 자신감의 바인딩 -quantile 모델의 가정 된 분포. 따라서 정규 분포의 경우 이는 매개 변수 의 신뢰 상한이며, 여기서 는 표준 가우스 분포의 입니다.

99 %

$99\%$

99 %

$99\%$

μ + k σ

$\mu + k\sigma$

k = z_{99 %}

$k=z_{99\%}$

99 %

$99\%$

— Stéphane Laurent

즉시 쇼가 허용 한계 여러 종류가 있기 때문에, 스테판 좋은 재 형성이다 : 하나는 요청할 수 있습니다 상단 에 신뢰 제한 A에 대한, 낮은 에 신뢰 제한 또는 (예를 들어) 해당 모수 의 편견 추정치 입니다. 문헌에서이 세 가지 모두를 "허용 한계"라고합니다.

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

μ + z_{0.99} σ

$\mu + z_{0.99}\sigma$

— whuber

에 대한 신뢰 하한을 말하기를 원한다고 생각합니다 .

μ - z_{0.99} σ

$\mu - z_{0.99}\sigma$

— Stéphane Laurent

사실, 아니오, Stéphane (그래서 매개 변수에 대한 수식을 반복하도록주의를 기울였습니다). A에 대한 세 가지 유사한 정의도있다 낮은 허용 한계는. 예를 들어, 인구의 상위 99 번째 백분위 수를 과소 평가 하길 원하지만 과소 평가량을 통제하기 위해서는 과소 평가가 여전히 너무 높을 확률이 5 %라고 주장합니다. 이를 통해 우리는 "이 데이터는 인구의 99 번째 백분위 수가 그와 같은 가치를 초과한다는 것을 95 %의 확신으로 보여줍니다."

— whuber

답변:

정의가 올바른 것 같습니다.

이 문제에 대한 상담이 책은 통계 간격 (제럴드 한이 & 윌리엄 순한), 1991 I 인용 :

단일 미래 관측치에 대한 예측 구간은 지정된 신뢰도를 사용하여 모집단에서 다음 (또는 일부 미리 지정된) 무작위로 선택된 관측치를 포함하는 구간입니다.

[A] 공차 구간은 지정된 신뢰도 의 모집단에 대해 지정된 비율 p 이상을 포함한다고 주장 할 수있는 구간입니다 . $100(1-\alpha)\%$

다음은 표준 수학적 용어로 다시 작성된 것입니다. 데이터 을 공통 누적 분포 함수 하여 독립적 인 랜덤 변수 의 실현으로 간주하십시오 . ( 는 가 알려지지 않았지만 주어진 분포 세트 있다고 가정 함)를 상기시켜줍니다 . 하자 동일한 분포를 갖는 다른 임의의 변수가 될 및 제 독립적으로 변수. $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ $\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$ $F_\theta$ $\theta$ $F$ ${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$ $X_0$ $F_\theta$ $n$

예측 구간 끝점에 의해 주어진다 (단일 미래 관찰 용), 갖고 정의하는 속성 그 $[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (X_{0} \in [l (X), u (X)])} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$
구체적으로, 는 법 의해 결정된 의 변량 분포를 나타냅니다 . 조건부 확률이 없다는 점에 유의하십시오. 이는 전체 공동 확률입니다. 또한, 시간적 순서 : 에 대한 언급이 없으면 다른 값 보다 시간이 지남에 따라 매우 잘 관찰 될 수 있습니다 . 그것은 중요하지 않습니다. ${\Pr}_\theta$ $n+1$ $(X_0, X_1, \ldots, X_n)$ $F_\theta$ $X_0$

이것의 어떤 측면이 "계산적"인지 잘 모르겠습니다. 데이터 를 수집 하기 전에 추구 할 활동으로 통계 절차를 선택하려는 경우 계획된 2 단계 프로세스를 자연스럽고 합리적으로 구성하는 것입니다. 두 데이터 모두 ( ) "미래 가치" 은 무작위로 모델링해야합니다. $X_i, i=1,\ldots,n$ $X_0$
공차 구간 끝점에 의해 지정된 은 그 정의하는 속성을 갖는다 $(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

$inf_{θ} {{Pr}_{θ} (F_{θ} (U (X)) - F_{θ} (L (X)) \geq p)} = 100 (1 - α) % .$ $\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$
에 대한 언급이 없다는 점에 유의하십시오 . $X_0$

경우 폼의 예측 구간 정상 분포의 세트가 존재한다 $\{F_\theta\}$

l (x) = \bar{x} - k (α, n) s, u (x) = \bar{x} + k (α, n) s

$l(\mathbf{x}) = \bar{x} - k(\alpha, n) s, \quad u(\mathbf{x}) = \bar{x} + k(\alpha, n) s$

( 는 표본 평균이고 는 표본 표준 편차입니다). Hahn & Meeker가 표로 하는 함수 값은 데이터에 의존하지 않습니다 . 일반적인 경우에도 다른 예측 구간 절차 가 있습니다. 이것 만이 유일한 것은 아닙니다. $\bar{x}$ $s$ $k$ $\mathbf{x}$

마찬가지로, 형식의 공차 구간이 있습니다

L (x) = \bar{x} - K (α, n, p) s, U (x) = \bar{x} + K (α, n, p) s .

$L(\mathbf{x}) = \bar{x} - K(\alpha, n, p) s, \quad U(\mathbf{x}) = \bar{x} + K(\alpha, n, p) s.$

다른 공차 구간 절차가 있습니다 : 이것 만이 유일한 것은 아닙니다.

이 공식 쌍들 사이의 유사성을 주목하면서 우리는 방정식을 풀 수 있습니다.

k (α, n) = K (α^{'}, n, p) .

$k(\alpha, n) = K(\alpha', n, p).$

이것은 하나있게 재 해석 (변화시킴으로써 여러 가지 방법으로 허용 간격과 예측 간격 및 )하거나 재 해석 지금 만 예측 구간으로서 허용 간격 ( 일반적 의적으로 결정된다 및 ). 이것은 혼란의 한 원인 일 수 있습니다. $\alpha'$ $p$ $\alpha$ $\alpha'$ $p$

— 우버
소스

이 간격들 사이의 혼란은 실제입니다. 10 년 전 나는 그 차이에 대해 무지하고 (무질서하게) 하나를 인식 할 수없는 정부 통계 학자와 몇 가지 어려운 대화를했다. 지도 작성, 보고서 검토, 사례 근로자 조언, 소프트웨어 배포 및 동료 검토 간행물에서 그녀의 중요한 역할은 이러한 오해의 연속성을 촉진했습니다. 그러니 조심하세요!

— whuber

아주 좋은 답변입니다. 감사합니다. 예측 통계가 공차 구간이라고 말하는 일부 통계 학자들은 마음이있었습니다 . 이 아이디어 뒤에 진짜 사실이 있습니까? 즉, 또는 이와 비슷한 것이 사실입니까?

p = 50 %

$p=50\%$

k (α, n) = K (α, n, 0.5)

$k(\alpha,n)=K(\alpha,n,0.5)$

— Stéphane Laurent

아니오, 사실이 아닙니다. @ Stéphane. 왜 그렇지 않은지 알아 보려면 95 %라고 말하는 매우 큰 과 적당한 신뢰 의 경우를 고려하십시오 . 로 , 양면 허용 간격 따라서 만 50 %의 확률로있다 그래서 정의에 매우 가까운 분포의 일부 가운데 50 %이어야한다 그 안에 거짓말을한다가 아닌 95 %를 원했다. 그것은 큰 차이입니다! 직관적으로, 모집단의 95 %에 대한 공차 구간은 95 % 신뢰도를 갖는 예측 구간과 비슷해야하지만 여전히 정확히 일치하지는 않습니다.

n

$n$

p = 50 %

$p=50\%$

X_{0}

$X_0$

— whuber

방금 이것에 대해 생각했고 사실은 다음과 같습니다. 이 클 때 . 가 중심이 아닌 t 분포의 도움으로 주어진 고전적인 공차 계수 인지 쉽게 알 수 있습니다 ( -quantile은 중심이 아닌 매개 변수 ).

k (α, n) \approx K (50 %, n, 1 - α)

$\boxed{k(\alpha,n) \approx K(50\%,n,1-\alpha)}$

n

$n$

K

$K$

50 %

$50\%$

z_{1 - α} / \sqrt{n}

$z_{1-\alpha}/\sqrt{n}$

— Stéphane Laurent

@whuber. 답변 주셔서 감사합니다. 올바른 것으로 표시하기 전에 이해해야합니다. "소화"할 시간을주세요.

— Ioannis Souldatos

내가 이해 한 것처럼, 일반적인 공차 한계의 경우 의 값은 중심이 아닌 t 백분위 수에서 나옵니다. 분명히 W Huber의 관점에서 볼 때, 허용 한계와 예측 한계의 개념에 익숙하지 않은 일부 통계학자가 있습니다. 내성에 대한 아이디어는 임상 생물 통계학과 달리 엔지니어링 설계 및 제조에서 주로 발생하는 것으로 보입니다. 아마도 공차 구간에 익숙하지 않고 예측 구간과 혼동되는 이유는 통계 훈련을받는 상황 일 것입니다. $K(\alpha,p)$

— 스콧 피
소스