기하 평균은 어떤 연속 분포의 평균에 대한 편견 추정량입니까?

닫힌 형태로 표현할 수있는 연속 분포가 있습니까? 그 평균은 표본의 기하 평균이 해당 평균에 대한 편향 추정치가되도록하는 것입니까?

업데이트 : 방금 샘플이 양수 (또는 기하 평균이 존재하지 않아야 함) 여야하므로 연속이 올바른 단어가 아닐 수도 있음을 깨달았습니다. 랜덤 변수의 음수 값에 대해 0이고 양수 값에 대해 연속적인 분포는 어떻습니까? 잘린 분포와 같은 것.

distributions geometric-mean

— 사용자
소스

샘플 공간을 엄격하게 양수 (예 : 감마 분포)하면서 분포는 연속적 일 수 있습니다.

— gammer

또한 표본의 기하 평균이 첫 번째 순간의 편견 추정치 인 예를 의미합니까? 나는 오직 정의 데이터의 불연속과 "진정한"(즉, 인구 수준) 기하 평균이 연속 분배 정의 얼마나 불확실한 ... 어쩌면의 기하 평균 보았다

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$ ?

— gammer

로그 정규 분포에 작동합니다.

— Michael R. Chernick

랜덤 변수

양의 스칼라 상수

거의 같은지 여부를 유지합니다 . 그렇지 않다.

X

$X$

c

$c$

— Matthew Gunn

답변:

나는 당신이있는 경우, 캠핑카의 분포 무엇인지 묻는 믿는 같은 것을 우리는 IID 샘플이있는 경우 크기의 그 분포를,이 것을 개최 $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{엔} {엑스}_{나는})}^{1 / 엔}] = 이자형 (엑스)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

때문에 IID 가정에 , 우리는이

이자형 [{(\prod_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는})}^{1 / 엔}] = 이자형 ({엑스}_{1}^{1 / 엔} \cdot . . . \cdot {엑스}_{엔}^{1 / 엔}) = 이자형 ({엑스}_{1}^{1 / 엔}) \cdot . . . \cdot 이자형 ({엑스}_{엔}^{1 / 엔}) = {[이자형 ({엑스}^{1 / 엔})]}^{엔}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

우리는 할 수 있는지 묻고 있습니다

{[이자형 ({엑스}^{1 / 엔})]}^{엔} = 이자형 (엑스)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

그러나 Jensen의 불평등과 힘 함수가 1보다 높은 거듭 제곱에 대해 엄밀하게 볼록하다는 사실에 의해, 우리는 거의 변질되지 않은 (일정하지 않은) 랜덤 변수에 대해,

{[이자형 ({엑스}^{1 / 엔})]}^{엔} < 이자형 {[({엑스}^{1 / 엔})]}^{엔} = 이자형 (엑스)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

따라서 그러한 분포는 존재하지 않습니다.

주석에서 로그 정규 분포에 대한 언급과 관련하여, 로그 정규 분포에서 표본 의 기하 평균 ( )은 편향되지만 점근 적으로 중앙값을 추정하는 추정값입니다 . 이것은 로그 정규 분포에 대해 $GM$

이자형 ({엑스}^{에스}) = 특급 {에스 μ + \frac{{에스}^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(여기서 및 는 로그 법선의 평균 및 분산이 아니라 기본 법선의 매개 변수입니다). $\mu$ $\sigma$

우리의 경우, 이므로 $s = 1/n$

이자형 (지 미디엄) = {[이자형 ({엑스}^{1 / 엔})]}^{엔} = {[특급 {(μ / 엔) + \frac{σ^{2}}{2 엔^{2}}}]}^{엔} = 특급 {μ + \frac{σ^{2}}{2 엔}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(이것은 그것이 중앙값의 편향 추정기임을 알려줍니다). 그러나

임 {[이자형 ({엑스}^{1 / 엔})]}^{엔} = 임 특급 {μ + \frac{σ^{2}}{2 엔}} = {이자형}^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

분포의 중앙값입니다. 또한 표본의 기하 평균의 분산이 0으로 수렴 함을 알 수 있으며,이 두 조건은이 추정기가 무의식적으로 일관성을 유지하기에 충분합니다.

지 미디엄 \to_{피} {이자형}^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— 알레 코스 파파도풀로스
소스

X

$X$

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

이것은 산술 평균, 기하 평균 불평등이 Jensen의 불평등의 결과이기 때문에 Alecos의 탁월한 답변과 비슷한 주장입니다.

$A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

$A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

어떤 의미에서 이것은 전적으로 퇴보 한 경우입니다.

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

그러면 기하 평균이 산술 평균보다 작을 가능성이 있습니다. 모든 결과에 대해 $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— 매튜 건
소스

기하 평균은 어떤 연속 분포의 평균에 대한 편견 추정량입니까?

엑스1= X2= … = X엔엑스1=엑스2=…=엑스엔X_1 = X_2 = \ldots = X_n

피( X나는≠ X제이) > 0피(엑스나는≠엑스제이)>0P(X_i \neq X_j) > 0나는 ≠ j나는≠제이i\neq j

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$