가정 . 확인


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다음 진술이 사실임을 확인하는 가장 쉬운 방법 은 무엇입니까 ?

가정 . 확인 \ sum_ {I = 1} ^ {N} (Y_i - Y _ {1}) \ SIM \ 텍스트 감마 {} (N-1, 1) .Y1,,YniidExp(1)i=1n(YiY(1))Gamma(n1,1)

참고 Y(1)=min1inYi .

저자 XExp(β) 이 의미 fX(x)=1βex/β1{x>0} .

이는 보는 것을 쉽게 Y(1)Exponential(1/n) . 또한 매개 변수 f_ {Y} (y) = \ dfrac { 아래의 \ sum_ {i = 1} ^ {n} Y_i \ sim \ text {Gamma} (\ alpha = n, \ beta = 1) 1} {\ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} x ^ {\ alpha-1} e ^ {-x / \ beta} \ mathbf {1} _ {\ {x> 0 \}} \ text {,} \ qquad \ alpha, \ beta> 0 \ text {.}i=1nYiGamma(α=n,β=1)

fY(y)=1Γ(α)βαxα1ex/β1{x>0}α,β>0.

Xi'an의 답변이 주어진 해결책 : 원래 질문의 표기법 사용 :

i=1n[YiY(1)]=i=1n[Y(i)Y(1)]=i=1nY(i)nY(1)=i=1n{Y(i)Y(i1)+Y(i1)Y(1)+Y(1)}nY(1)=i=1nj=1i{Y(j)Y(j1)}nY(1) where Y(0)=0=j=1ni=jn{Y(j)Y(j1)}nY(1)=j=1n(nj+1)[Y(j)Y(j1)]nY(1)=i=1n(ni+1)[Y(i)Y(i1)]nY(1)=i=2n(ni+1)[Y(i)Y(i1)]+nY(1)nY(1)=i=2n(ni+1)[Y(i)Y(i1)].
으로부터 i=2n(ni+1)[Y(i)Y(i1)]Gamma(n1,1)1) .

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@MichaelChernick 1) 독립 증명이 올바른지 확실하지 않으며 2) 감마 분포의 차이와 관련하여 위에서 추측 한 결과가 정확한지 확실하지 않습니다. 이것은 여기 에 주어진 것과 모순되는 것처럼 보이지만 이 차이가 주문 통계 중 하나를 포함하기 때문에 상황이 다를 수 있습니까? 잘 모르겠습니다.
Clarinetist

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@Clarinetist, 확실하지 않습니다. 아마도 로 작업 해보십시오 . 이는 작업중 인 합계와 분명히 같습니다. 여기에 대한 답변이 도움이 될 것입니다 : math.stackexchange.com/questions/80475/…i=2n(Y(i)Y(1))
gammer

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당신이 증명하려고 노력 각 - 하나를 제외하고 들어, 다음과, iid 지수 변량 의 합 이 감마 분포됨을 사용 하는가? (YiY(1))Expon(1)iYiY(1)=0(n1)
Marcelo Ventura

1
@jbowman 우리는이 과 조건으로 , 우리는 이것을 분할 주는 , 따라서 우리가 . 이제이 증거에 대해 버그가있는 것이 있습니다 : 나는 를 상수로 여겼습니다 . 그러나 은 상수가 아닙니다. 왜 이것이 효과가 있을까요?
fZi(zi)=fYi(zi+a)=e(zi+a)
Yiaeaezi(ZiYiA)Exp(1)AY(1)
Clarinetist

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요점은 어떤 문제가되지 않는다는 것입니다 있다! 배포는 항상 ! 놀랍지 않습니까? 그리고이에서 당신은 결론을 내릴 수의 분포 항상 에 대한 ,에 관계없이 실제 값의 . aExp(1)YiY[1]Exp(1)i>1Y[1]
jbowman

답변:


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증명은 Devroye의 Non-Uniform Random Variate Generation , p.211 의 모든 랜덤 생성 서적의 어머니에서 제공됩니다 (매우 우아합니다).

정리 2.3 (Sukhatme 1937) 우리가 정의 할 경우 다음 정규화 지수 간격을 로부터 유래 크기 의 iid 지수 샘플의 주문 통계 자체는 iid 지수 변수입니다.E(0)=0

(ni+1)(E(i)E(i1))
E(1)E(n)n

증명. 이후 순서 통계량 조인트 밀도 같은 기록 설정 , ~ 에는 일정한 Jacobian이 있습니다 [우연히그러나 이것은 계산 될 필요가 없다. 따라서 밀도는

i=1nei=i=1ne(i)=i=1nj=1i(e(j)e(j1))=j=1ni=jn(e(j)e(j1))=j=1n(nj+1)(e(j)e(j1))
(E(1),,E(n))
f(e)=n!exp{i=1ne(i)}=n!exp{i=1n(ni+1)(e(i)e(i1))}
Yi=(E(i)E(i1))(E(1),,E(n))(Y1,,Yn)1/n!(Y1,,Yn) 은 결과를 설정하는 합니다. QED
exp{i=1nyi}

Gérard Letac이 제안한 대안은 이 (메모리없는 속성으로 인해), 간단합니다.

(E(1),,E(n))
(E1n,E1n+E2n1,,E1n+E2n1++En1)
k=1n(EkE(1))k=1n1Ek

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이 답변에 감사드립니다! 나는 미래에이 글을 읽고있는 누군가에 대한 몇 가지 세부 사항을 기입하고 싶습니다 : 의 관측 값이다 , 그리고 가장 쉬운 방법이보고 그 는 기간별로 작성하는 것입니다. 밀도 때문에 있다 비례에 , 별도 밀도를보고하는 비례에 이므로 입니다.eiEii=1ne(i)=i=1n(ni+1)(e(i)e(i1))=i=1ne(i)i=1n(ni+1)(e(i)e(i1))(Y1,,Yn)exp(i=1nyi)yii=1neyiY1,,YniidExp(1)
Clarinetist

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@jbowman의 의견에 제안 된 내용을 여기에 배치했습니다.

상수 . 하자 따라 과 고려 . 그때a0YiExp(1)Zi=Yia

Pr(ZiziYia)=Pr(YiaziYia)

Pr(Yizi+aYia)=Pr(Yizi+a,Yia)1Pr(Yia)

Pr(aYizi+a)1Pr(Yia)=1ezia1+eaea=1ezi

이는 의 분포 함수입니다 .Exp(1)

이것을 설명해 봅시다 : rv가 구간의 하한 (분모)을 초과 할 때 특정 구간 (마지막 줄의 분자)에 속할 확률 은 이 간격이 실제 라인에서 배치되는 위치가 아닌 간격의 길이. Exp(1)이것은 지수 해석 의 " 메모리없는 "특성을 구체화 한 것으로 , 여기서는 더 일반적인 설정으로 시간 해석이 필요하지 않습니다 (일반적으로 지수 분포를 유지함)

이제, 를 함으로써 를 음이 아닌 것으로 강제 하고, 결정적으로 얻은 결과는 합니다. 그래서 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다. {Yia}ZiaR+

만약 , 그 다음 . YiExp(1)Q0:Zi=YiQ0 ZiExp(1)

음이 아닌 모든 실제 값을 자유롭게 가져오고 필요한 불평등이 항상 (거의 확실하게) 유지 되는 을 찾을 수 있습니까 ? 가능하다면 컨디셔닝 인수를 생략 할 수 있습니다. Q0

그리고 실제로 우리는 할 수 있습니다. 그것은 인 최소 차수 통계 , , . 그래서 우리는 얻었습니다Q=Y(1)Pr(YiY(1))=1

YiExp(1)YiY(1)Exp(1)

이것은

Pr(YiY(1)yiy(1))=Pr(Yiyi)

따라서 최소 차수 통계량을 빼면 의 확률 적 구조 가 변경되지 않은 경우 랜덤 변수 및 에 따라 독립적입니다. 은 확률 적 구조에 영향을 미치지 않기 때문에 독립적 입니다.YiZi=YiY(1)Zj=YjY(1)Yi,YjY(1)

그런 다음 합계 은 iid 임의 변수 (및 0)를 포함하므로i=1n(YiY(1))n1 Exp(1)

i=1n(YiY(1))Gamma(n1,1)
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