이항 우도에 대한 제프리

이항 확률 매개 변수 대해 Jeffreys를 사용하면 분포를 사용하는 것을 의미 합니다. $\theta$ $\theta \sim beta(1/2,1/2)$

새로운 참조 프레임 하면 분명히 도 분포 로 배포되지 않습니다 . $\phi = \theta^2$ $\phi$ $beta(1/2,1/2)$

내 질문은 제프리스가 재 파라미터 화에 불변의 의미로 어떤 의미로 있는가? 나는 정직한 주제를 오해하고 있다고 생각합니다 ...

베스트,

벤

bayesian jeffreys-prior

— ben18785
소스

Jeffreys의 사전은 하나의 매개 변수화를 위해 Jeffreys 이전으로 시작하여 적절한 변수 변경을 실행하는 것이이 새로운 매개 변수화를 위해 사전에 Jeffreys를 유도하는 것과 동일하다는 점에서 변하지 않습니다. 실제로 등변 량 은 불변 보다 항이 더 적합합니다 .

— 시안

@ ben18785 : 한 번 봐 걸릴 stats.stackexchange.com/questions/38962/...

— 선

참조 math.stackexchange.com/questions/210607/... (내가 생각하는 더 많거나 적은 같은 질문을하지만, 다른 사이트에서).

— Nathaniel

stats.stackexchange.com/questions/139001/…

— Christoph Hanck

가질 수 있습니다 . 여기서 $\phi = g(\theta)$ $g$ 모노톤 함수입니다 $\theta$ 그리고하자 $h$ 반대이다 $g$ 그래서 $\theta = h(\phi)$ . 우리는 Jeffrey의 사전 배포를 얻을 수 있습니다 $p_{J}(\phi)$ 두 가지 방법으로 :

이항 모형으로 시작 (1) 은 로 모델을 다시 매개 변수화하여 제프리 종래의 유통 구 이 모델을. $p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}$ $\begin{equation} \label{original} p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y} \end{equation}$ $\phi = g(\theta)$ $p (y | ϕ) = (\binom{n}{y}) h (ϕ)^{y} (1 - h (ϕ))^{n - y}$ $p(y | \phi) = \binom{n}{y} h(\phi)^{y} (1-h(\phi))^{n-y}$ $p_{J}(\phi)$
원래 이항 모형 1에서 Jeffrey의 사전 분포 를 구하고 변수 변경 공식을 적용하여 에서 유도 된 사전 밀도를 얻습니다. $p_{J}(\theta)$ $\phi$ $p_{J} (ϕ) = p_{J} (h (ϕ)) | \frac{d h}{d ϕ} | .$ $p_{J}(\phi) = p_{J}(h(\phi)) |\frac{dh}{d\phi}|.$

다시 매개 변수화에 변하지 않는다는 것은 두 가지 방식으로 파생 된 밀도 가 동일해야 함을 의미합니다. Jeffrey의 이전에는 이러한 특성이 있습니다 [참조 : P. Hoff의 베이지안 통계 방법의 첫 번째 과정 ]. $p_{J}(\phi)$

귀하의 의견에 답변하십시오. 이항 모형 의 가능성으로부터 Jeffrey의 사전 분포 를 구하려면 가능성 로그를 취하여 Fisher 정보를 계산하고 의 2 차 미분을 계산 해야합니다. 이고 Fisher 정보는 $p_{J}(\theta)$

p (y | θ) = (\binom{n}{y}) θ^{y} (1 - θ)^{n - y}

$p(y | \theta) = \binom{n}{y} \theta^{y} (1-\theta)^{n-y}$

l

$l$

l

$l$

\begin{aligned} l := \log (p (y | θ)) & \propto y \log (θ) + (n - y) \log (1 - θ) \\ \frac{\partial l}{\partial θ} & = \frac{y}{θ} - \frac{n - y}{1 - θ} \\ \frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} & = - \frac{y}{θ^{2}} - \frac{n - y}{(1 - θ)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} l := \log(p(y | \theta)) &\propto y \log(\theta) + (n-y) \log(1-\theta) \\ \frac{\partial l }{\partial \theta} &= \frac{y}{\theta} - \frac{n-y}{1-\theta} \\ \frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} &= -\frac{y}{\theta^{2}} - \frac{n-y}{ (1-\theta)^{2} } \end{align*}$

\begin{aligned} I (θ) & = - E (\frac{\partial^{2} l}{\partial θ^{2}} | θ) \\ = \frac{n θ}{θ^{2}} + \frac{n - n θ}{(1 - θ)^{2}} \\ = \frac{n}{θ (1 - θ)} \\ \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1} . \end{aligned}

$\begin{align*} I(\theta) &= -E(\frac{\partial^{2} l }{\partial \theta^{2}} | \theta) \\ &= \frac{n\theta}{\theta^{2}} + \frac{n - n \theta}{(1-\theta)^{2}} \\ &= \frac{n}{\theta ( 1- \theta)} \\ &\propto \theta^{-1} (1-\theta)^{-1}. \end{align*}$ 이 모델에 대한 Jeffrey의 이전 버전은 인 .

\begin{aligned} p_{J} (θ) & = \sqrt{I (θ)} \\ \propto θ^{- 1 / 2} (1 - θ)^{- 1 / 2} \end{aligned}

$\begin{align*} p_{J}(\theta) &= \sqrt{I(\theta)} \\ &\propto \theta^{-1/2} (1-\theta)^{-1/2} \end{align*}$

beta (1 / 2, 1 / 2)

$\texttt{beta}(1/2, 1/2)$

— 마르코 라로 비치
소스

답변 주셔서 감사합니다. 그래도 조금 느려집니다. 어떤 의미에서 우리는 가능성으로부터 사전을 얻을 수 있습니까? 그것들은 두 개의 분리 된 것들이며, 후자는 전자를 암시하지 않습니다.

— ben18785

나는 이항 모형에 대한 가능성으로부터 Jeffrey의 이전 를 얻어서 위에서 대답했다 .

p_{J} (θ)

$p_{J}(\theta)$

— Marko Lalović