지수 랜덤 변수의 합은 감마를 따르며 매개 변수로 혼란

감마 분포에 따른 지수 랜덤 변수의 합을 배웠습니다.

그러나 매개 변수화를 읽는 곳마다 다릅니다. 예를 들어 Wiki는 관계를 설명하지만 매개 변수가 실제로 무엇을 의미하는지 말하지 않습니까? 모양, 스케일, 속도, 1 / 속도?

지수 분포 : ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

감마 분포 : $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

이 설정에서 무엇입니까? 올바른 매개 변수화는 무엇입니까? 이것을 카이 제곱으로 확장하는 것은 어떻습니까? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— 에드윈
소스

대략적이고 대략적인 경험으로, 영아들은 를 사용하여 평균 (즉, 감마 분포를 나타냅니다. 통계학 를 사용하는 반면 는

가 아니라 평균

인 감마 랜덤 변수를 나타냅니다 . Wikipedia 는 두 규칙을 모두 설명합니다.

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

죄송합니다. 맞습니다.

— edwin

두 가지 힌트 : 1. 차원 일관성을 확인해야합니다. (예를 들어, 매개 변수의 차원이

x

$x$ 이거나 그 순환이 ...?)

— leonbloy

@edwin 따라서 평균과 분산에 대한 표현을 수정하기 위해 질문을 편집하십시오.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate가 편집되었습니다!

— edwin

답변:

의 합계 독립적 인 랜덤 변수 감마 감마 확률 변수 . 모든 랜덤 변수가 동일한 두 번째 매개 변수를 갖는 한 , 두 번째 매개 변수의 의미 (스케일 또는 스케일의 역)는 중요하지 않습니다 . 이 아이디어 는 감마 랜덤 변수의 특별한 경우 인 랜덤 변수로 쉽게 확장됩니다 . $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— 디립 사르 베이트
소스

나를 혼란스럽게하는 것은 일부 책은 쓰고 , 여기서 는 비율이고 다른 책 은 1 / rate를 의미합니다. 일관된 표기법이 있습니까? pdf를 보지 않으면 그 의미를 알 수 없습니다.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin

혼동 스럽다고 생각되면 정상적인 랜덤 변수가 나올 때까지 기다리십시오. 있다 적어도 세 가지 다른 해석 의 통계가 사용하는가.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate

lol, 그것은 주제를 연구하고 싶은 무고한 영혼을 망치고 있습니다. 나는 개인적으로 그것이 저자 측에 잘못 쓰여져 있다고 생각하며 동시에 잘못된 것을 발견하는 능력을 조정해야한다는 데 동의합니다. 그러나 아직 아기 발걸음을 내딛을 때가 아닙니다.

— edwin

오, 다른 질문에 대한 답변의 저자로서 답변이 잘못 작성되었다고 생각하는 것에 실망합니다. 그것을 개선하기위한 제안은 가장 환영합니다.

— Dilip Sarwate

나는 당신의 링크를 언급하지 않습니다.

— edwin

척도 (rate )를 갖는 iid 지수 분포 의 합은 모양 및 scale (rate )로 감마 분포됩니다 . $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— 닐 G
소스

$f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— 하산 미사이
소스

나는 당신의 대답의 수학 부분을 형식화했습니다. 이것이 여전히 표현하고 싶은지 확인하십시오.

— Andy

가 독립적 인 임의 변수 임을 주장하여 규정하지 않으면 어설 션 가 올바르지 않습니다 .

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$

— Dilip Sarwate