이항 변수는 일반적으로 독립적 인 Bernoulli 변수를 합산하여 생성됩니다. 상관 관계가있는 Bernoulli 변수 쌍 하여 동일한 작업을 수행 할 수 있는지 살펴 보겠습니다 .(X,Y)
가정 베르누이 인 (즉, 가변 및 )와 베르누이이다 변수. 공동 분포를 찾기 위해서는 4 가지 결과 조합을 모두 지정해야합니다. 쓰면 확률의 공리에서 나머지를 쉽게 알아낼 수 있습니다 :X(p)Pr ( X = 0 ) = 1 − p Y ( q )Pr(X=1)=pPr(X=0)=1−pY(q)Pr ( (
Pr((X,Y)=(0,0))=a,
Pr((X,Y)=(1,0))=1−q−a,Pr((X,Y)=(0,1))=1−p−a,Pr((X,Y)=(1,1))=a+p+q−1.
이것을 상관 계수 에 대한 공식에 연결 하고 풀면a = ( 1 − p ) ( 1 − q ) + ρ √ρ
a=(1−p)(1−q)+ρpq(1−p)(1−q)−−−−−−−−−−−−−√.(1)
네 가지 확률이 모두 음수가 아닌 경우, 유효한 합동 분포를 얻게되며이 솔루션은 모든 이변 량 Bernoulli 분포를 모수화합니다. ( 인 경우 과 사이의 모든 수학적으로 의미있는 상관 관계에 대한 솔루션이 있습니다.) 이 변수의 을 합산 하면 상관 관계는 동일하게 유지되지만 한계 분포는 이항 이고 필요에 따라 이항 .- 1 (1) N ( N , P ) ( N , Q )p=q−11n(n,p)(n,q)
예
하자 , , , 우리는 될 수있는 상관 관계 싶습니다 . 상기 용액에 이고 (다른 확률 주위 , 및 ). 관절 분포에서 실현을 그린 그림입니다 ., p는 = 1 / 3 Q는 = 3 / 4 ρ = - 4 / 5 ( 1 ) A는 = 0.00336735 0.247 0.663 0.087 1,000n=10p=1/3q=3/4ρ=−4/5(1)a=0.003367350.2470.6630.0871000
빨간색 선은 표본의 평균을 나타내며 점선은 회귀선입니다. 그것들은 모두 의도 한 값에 가깝습니다. 이 이미지에서 점들은 무작위로 겹침을 해결하여 중첩을 해결했습니다. 결국 이항 분포는 정수 값만 생성하므로 과도하게 많은 양의 플로팅이 발생합니다.
이러한 변수를 생성하는 한 가지 방법 은 선택한 확률 로 에서 번 을 샘플링 한 다음 각 을 , 각 를 , 각각 에 , 각 를 넣습니다 . 결과를 벡터로 합하여 한 번 실현 합니다.{ 1 , 2 , 3 , 4 } 1 ( 0 , 0 ) 2 ( 1 , 0 ) 3 ( 0 , 1 ) 4 ( 1 , 1 ) ( X , Y )n{1,2,3,4}1(0,0)2(1,0)3(0,1)4(1,1)(X,Y)
암호
R
구현 은 다음과 같습니다 .
#
# Compute Pr(0,0) from rho, p=Pr(X=1), and q=Pr(Y=1).
#
a <- function(rho, p, q) {
rho * sqrt(p*q*(1-p)*(1-q)) + (1-p)*(1-q)
}
#
# Specify the parameters.
#
n <- 10
p <- 1/3
q <- 3/4
rho <- -4/5
#
# Compute the four probabilities for the joint distribution.
#
a.0 <- a(rho, p, q)
prob <- c(`(0,0)`=a.0, `(1,0)`=1-q-a.0, `(0,1)`=1-p-a.0, `(1,1)`=a.0+p+q-1)
if (min(prob) < 0) {
print(prob)
stop("Error: a probability is negative.")
}
#
# Illustrate generation of correlated Binomial variables.
#
set.seed(17)
n.sim <- 1000
u <- sample.int(4, n.sim * n, replace=TRUE, prob=prob)
y <- floor((u-1)/2)
x <- 1 - u %% 2
x <- colSums(matrix(x, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
y <- colSums(matrix(y, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
#
# Plot the empirical bivariate distribution.
#
plot(x+rnorm(length(x), sd=1/8), y+rnorm(length(y), sd=1/8),
pch=19, cex=1/2, col="#00000010",
xlab="X", ylab="Y",
main=paste("Correlation is", signif(cor(x,y), 3)))
abline(v=mean(x), h=mean(y), col="Red")
abline(lm(y ~ x), lwd=2, lty=3)