드리프트를 이용한 랜덤 워크의 최대 드로우 다운 누적 분포 계산

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랜덤 워크의 최대 드로우 다운 분포에 관심이 있습니다. $X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$ 어디 $Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$ . 이후 최대 인출 $n$ 기간은 $\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$ . Magdon-Ismail 등 의 논문 . 알. 드리프트가있는 브라운 운동의 최대 손실을위한 분포를 제공합니다. 이 표현에는 암시 적으로 만 정의 된 일부 용어가 포함 된 무한 합이 포함됩니다. 수렴하는 구현을 작성하는 데 문제가 있습니다. CDF의 대체 표현이나 코드의 참조 구현에 대해 아는 사람이 있습니까?

— 초라한 요리사
소스

얼마나 정확한가요? 보행을 시뮬레이션하고 모든 기능을 갖춘 솔루션을 피할 수 있습니까?

— kyle

좋은 지적. 원자 물리 수준의 정확도가 필요하지 않습니다. 실제로, 3 sigfigs는 아마도 괜찮을 것입니다 ....

— shabbychef

이 작업에는 약 백만 개의 시뮬레이션 된 랜덤 워크가 필요합니다.

— whuber

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이것은 교호 합입니다. 각 연속 쌍은 거의 취소됩니다. 이러한 페어-합은 결국 단조 감소합니다.

따라서 한 가지 방법은 = {1,2}, {3,4}, {5,6} 등의 쌍으로 합계를 계산하는 것입니다 . 이렇게하면 많은 부동 소수점 오류도 제거됩니다. 더 많은 트릭이 도움이 될 수 있습니다. $n$

(1)을 해결하는 플러스 전율 좋은 시작 값을 검색하는 - 상기위한 훌륭한 근사 최대 root-- 인 입니다. 뉴턴-랩슨이 정말 잘 작동 할 것 같아요. $\tan(t) = t / \alpha$ $\alpha$ $n^\text{th}$ $t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(2) 소수의 초기 항 후에 쌍의 합은 크기가 매우 일정하게 감소하기 시작합니다. 지수 간격 쌍의 절대 값의 로그는 거의 선형 적으로 빠르게 감소합니다. 즉, 계산하지 않은 모든 페어 섬을 추정하기 위해 매우 적은 수의 계산 된 페어 섬을 보간 할 수 있습니다. 예를 들어, 쌍 (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ..., (16384, 16385)에 대해서만 값을 계산하고 이들에 대한 보간 다항식을 구성함으로써 (1, 2, ..., 14의 함수 값으로 생각) 및 인수 $h = \mu = \sigma = 1$ 최악의 오류에 대해 6 자릿수 정밀도를 달성 할 수있었습니다. (더 좋을지라도 오류가 부호로 진동하여 합산 된 보간 된 값의 정밀도가 6 자리보다 훨씬 낫다는 것을 암시합니다.)이 값의 끝에서 선형으로 외삽하여 제한 합계를 좋은 정밀도로 추정 할 수 있습니다. 전력 법으로 변환하고 외삽 기능을 무한대로 통합합니다. 이 예제 계산을 완료하려면 첫 번째 항도 필요합니다. 그것은 합산에서 단지 29 개의 계산 된 항에 의해 6 개의 그림 정밀도를 제공합니다.

(3) 함수는 실제로 세 변수 모두에 독립적이 아니라 및 에 의존합니다. 에 대한 의존성 은 약해야한다. 모든 계산에서 값을 수정하는 데 만족할 수 있습니다. $h/\sigma$ $\mu/\sigma$ $T$

(4) 무엇보다도 Aitken의 방법 과 같은 몇 가지 직렬 가속 방법을 사용하십시오 . 이것에 대한 좋은 설명은 수치 레시피에 나타납니다 .

추가

(5) 적분으로 합계의 꼬리를 추정 할 수 있습니다. 기록시 , 식 (와 해결할 수) 대한 작은 다음입니다, 다시 대체하여. 에서 Taylor 시리즈의 탄젠트를 확장하면 대략적인 솔루션이 제공됩니다. $\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$ $\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$ $\alpha = \mu h / \sigma^2$ $t_n$ $\theta_n$ $t_n$

θ_{n} = z - \frac{α}{z} - \frac{α^{2} - α^{3} / 3}{z^{3}} + O ((\frac{α}{n})^{5})

$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$

여기서 입니다. $z = (n + 1/2)\pi$

다만 이 충분히 큰 경우, 폼의 지수 인자 는 1에 매우 가까워져 무시할 수 있습니다. 가 이므로 첫 번째 지수가 매우 빠르게 0 이 되기 때문에 일반적으로 이러한 항은 작은 대해서도 무시할 수 있습니다 . (이것은 실질적으로 초과하면 발생합니다 . 가능하면 큰 대한 계산을 수행하십시오 !) $n$ $1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$ $n$ $\theta_n^2$ $\Theta\left(n^2\right)$ $n$ $\alpha / T^{1/2}$ $T$

에 대해이 표현식을 사용하여 과 대한 항을 합하면 다음 과 같이 근사값을 추정합니다. $\theta_n$ $n$ $n+1$

\frac{2}{π n^{2}} - \frac{4}{π n^{3}} + \frac{13 π^{2} + 6 (4 - 3 α) α}{2 π^{3} n^{4}} + O (\frac{1}{n^{5}}) .

$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$

시작 합 장착 통해 일체로 부터 꼬리 가깝다. (적분은 의 공통 인수로 곱해야합니다 .) 적분의 오류는 입니다. 따라서 세 개의 유효 숫자를 달성하려면 일반적으로 합계에서 약 8 개 정도의 항을 계산 한 다음이 꼬리 근사값을 추가해야합니다. $n = 2N$ $N$ $N - 1/4$ $\exp(-\alpha)$ $O(1/n^4)$

— 우버
소스

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이것은 정말로 훌륭하며 CDF를 향한 먼 길을 가야합니다. 위와 그 너머 배지 자료.

— shabbychef

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fBasics 의 드로우 다운 분포 함수를 살펴 보는 것으로 시작할 수 있습니다 . 따라서 드리프트로 브라운 운동을 쉽게 시뮬레이션하고 이러한 기능을 시작으로 적용 할 수 있습니다.

— 셰인
소스

+1이 함수가 논문의 수식을 구현한다는 점을 고려하면 매우 직접적인 답입니다!

— whuber

이 패키지 는 종이를 기반으로 예상되는 최대 드로 다운을 계산하는 것처럼 보이지만 CDF는 계산하지 않습니다. 이 논문은 그 기대치를 계산하기 위해 '단축'결과 인 IIRC를 제공합니다.

— shabbychef

@shabbychef 죄송합니다. 그 멋진 점을 놓쳤습니다. CDF 전체를 얻는 것이 기대를 아는 것보다 더 유용 할 수 있다는 것을 알았습니다. (재무 위험은 예상 손실보다 훨씬 많습니다 ...) 이제 CDF를 근사화하기 위해 수행 한 작업에 대해 조금 나아졌습니다!

— whuber