에서 는 독립적 이라는 결론을 내릴 수 있습니까 ?

글쎄, 우리는 예를 들어 https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence 를 참조 하여 흥미로운 반례를 볼 수는 없습니다 . 그러나 실제 질문은 : 독립을 따르도록 조건을 강화할 방법이 있습니까? 예를 들어, 함수 집합 이 $g_1, \dotsc, g_n$ 그래서 모든 대해 이면 독립성이 뒤 따릅니다. 그리고 그러한 일련의 함수는 얼마나 커야합니까? $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

또한이 질문을 다루는 좋은 참고 자료가 있습니까?

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

이것으로 운이 있었습니까? 모든 RV 쌍에 사용할 수있는 유한 함수 집합이 있는지 알고 싶습니다. 특히 타당성은 CDF 인수 분해 이외의 것입니다.

— jld

내가 살펴 볼게요! 일반적으로 유한 세트가 있는지 의심하지만 선형 함수 세트의 기초가되는 모든 세트는 수행해야합니다 (예를 들어 모두 이면 a 일련의 개의 선형 독립적 인 다항식 (또는 다른) 기능을 수행한다.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— 할보 kjetil B

하자 확률 공간합니다. 정의에 따라 두 개의 임의 변수 은 -algebras 와 가 독립적 인 경우 독립적입니다. 즉 에는 있습니다. $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

하자 및 걸릴 (지적에 대해 @grand_chat, 감사 충분하다). 그런 다음 및 $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

우리가 가정하면 그 우리가 관심을 끌 수 정리 는 즉 입니다. $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

따라서 실수를하지 않으면 적어도 그러한 함수의 셀 수있는 컬렉션을 얻었으며 이것은 공통 확률 공간에 정의 된 임의의 변수 쌍에 적용됩니다.

— jld
소스

실제로 무엇을 보여 주셨습니까? 셀 수없는 함수 모음을 정의했지만 모두 필요한 부분을 어디에서 보여 주셨습니까? 예를 들어 와 각각 가능한 값의 유한 세트를 가질 때 그러한 많은 함수가 필요할 것이라고 상상하기 어렵습니다 .

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ whuber 나는 그러한 기능 모음이 있는지 여부에 대한 질문에 대답하려고했습니다. 나는 더 흥미로운 점은 (난 아직 일하고 있어요) 최소한의 같은 세트 찾을 수 있습니다 동의

— JLD

합리적인 만을 고려하여 를 계산 가능한 세트로 줄일 수 있습니다 .

G

$G$

a

$a$

— grand_chat

@grand_chat 큰 포인트, 내가 업데이트

— jld