20면 다이 (d20)의 공정성을 어떻게 테스트 할 수 있습니까? 분명히 나는 값의 분포를 균일 한 분포와 비교할 것입니다. 대학에서 카이 제곱 테스트를 사용한 것을 막연히 기억합니다. 주사위가 공정한지 확인하기 위해 이것을 어떻게 적용 할 수 있습니까?
답변:
다음은 R 코드를 사용한 예입니다. 출력 앞에 #이옵니다. 공정한 주사위 :
rolls <- sample(1:20, 200, replace = T)
table(rolls)
#rolls
# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
# 7 8 11 9 12 14 9 14 11 7 11 10 13 8 8 5 13 9 10 11
chisq.test(table(rolls), p = rep(0.05, 20))
# Chi-squared test for given probabilities
#
# data: table(rolls)
# X-squared = 11.6, df = 19, p-value = 0.902
바이어 싱 된 다이-각각 1-10의 확률은 0.045입니다. 11-20의 확률은 0.055-200입니다.
rolls <- sample(1:20, 200, replace = T, prob=cbind(rep(0.045,10), rep(0.055,10)))
table(rolls)
#rolls
# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
# 8 9 7 12 9 7 14 5 10 12 11 13 14 16 6 10 10 7 9 11
chisq.test(table(rolls), p = rep(0.05, 20))
# Chi-squared test for given probabilities
#
# data: table(rolls)
# X-squared = 16.2, df = 19, p-value = 0.6439
편견의 증거가 충분하지 않습니다 (p = 0.64).
바이어스 된 다이, 1000 던지기 :
rolls <- sample(1:20, 1000, replace = T, prob=cbind(rep(0.045,10), rep(0.055,10)))
table(rolls)
#rolls
# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
# 42 47 34 42 47 45 48 43 42 45 52 50 57 57 60 68 49 67 42 63
chisq.test(table(rolls), p = rep(0.05, 20))
# Chi-squared test for given probabilities
#
# data: table(rolls)
# X-squared = 32.36, df = 19, p-value = 0.02846
이제 p <0.05이고 우리는 편견의 증거를보기 시작했습니다. 유사한 시뮬레이션을 사용하여 감지 할 수있는 바이어스 레벨과 주어진 p 레벨로이를 감지하는 데 필요한 스로프 수를 추정 할 수 있습니다.
와우, 입력을 마치기 전에도 2 개의 다른 답변이 있습니다.
손으로 또는 엑셀로 하시겠습니까?
당신이 그것을하고 싶은 경우 R , 당신은이 방법을 수행 할 수 있습니다 :
1 단계 : 주사위를 100 번 굴립니다.
2 단계 : 각 번호를 몇 번 받았는지 계산
3 단계 : R에 다음과 같이 넣으십시오 (필자가 쓴 숫자 대신 각 주사위 굴림 횟수를 씁니다).
x <- as.table(c(1,2,3,4,5,6,7,80,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20))
4 단계 : 간단히이 명령을 실행하십시오.
chisq.test(x)
P 값이 낮 으면 (예 : 벨로우즈 0.05)-주사위의 균형이 맞지 않습니다.
이 명령은 평형 다이 (P = ~ .5)를 시뮬레이션합니다.
chisq.test(table(sample(1:20, 100, T)))
그리고 이것은 언밸런스 드 다이를 시뮬레이션합니다 :
chisq.test(table(c(rep(20,10),sample(1:20, 100, T))))
(약 P = ~ .005가됩니다)
이제 실제 질문은 몇 개의 다이가 어떤 레벨의 검출력으로 굴려 져야 하는가입니다. 누군가가 그 문제를 해결하고 싶다면 환영합니다 ...
업데이트 :이 주제에 대한 좋은 기사도 있습니다 .
먼저, @Glen_b 한 말과 일치, 베이지안 실제로 다이인지 여부를 관심이 없다 정확하게 공정 - 그것은 아니다. 그가 관심 을 갖는 것은 문맥에서 "충분한"의미가 무엇이든간에, 각 측면에 대해 공정의 5 % 내에서 그것이 충분히 근접했는지 여부 입니다.
어쨌든, 여기에 방법이 있습니다 (R 사용).
먼저 데이터를 얻으십시오. 우리는 주사위를 500 번 굴립니다.
set.seed(1)
y <- rmultinom(1, size = 500, prob = c(1,1,1))
(우리는 공정한 주사위로 시작합니다. 실제로 이러한 데이터는 관찰 될 것입니다.)
library(MCMCpack)
A <- MCmultinomdirichlet(y, alpha0 = c(1,1,1), mc = 5000)
plot(A)
summary(A)
마지막으로 (데이터를 관찰 한 후) 주사위가 각 좌표에서 공정한 0.05 이내 일 때의 사후 확률을 추정 해 봅시다.
B <- as.matrix(A)
f <- function(x) all((x > 0.28)*(x < 0.38))
mean(apply(B, MARGIN = 1, FUN = f))
내 컴퓨터에서 결과는 약 0.9486입니다. (실제로 놀랍지 않습니다. 결국 공정한 주사위로 시작했습니다.)
빠른 설명 :이 예에서는 정보가없는 정보를 사용하는 것이 합리적이지 않을 수 있습니다. 아마도 다이가 처음에 거의 균형을 잡은 것처럼 보일 수도 있기 때문에 모든 좌표에서 1/3에 가깝게 집중되는 사전을 선택하는 것이 좋습니다. 이보다 "공정에 가깝다"는 추정 된 사후 확률을 훨씬 더 높게 만들었을 것입니다.
카이 제곱 적합도 검정은 엄격한 균일 성으로부터 가능한 모든 종류의 편차를 찾는 것을 목표로합니다. 이것은 d4 또는 d6에서는 합리적이지만 d20에서는 각 결과가 롤오버 (또는 초과 가능) 할 확률이 예상과 비슷한 지 확인하는 데 더 관심이있을 것입니다.
내가 얻는 것은 d20을 사용하는 모든 것에 크게 영향을 줄 수있는 공평성에서 벗어나는 편차와 전혀 중요하지 않은 다른 종류의 편차가 있다는 것입니다. 덜 흥미로운 대안. 결과는 공정성에서, 심지어 매우 적당한 편차를 데리러 충분한 전력을 가지고 있다는 것입니다, 당신은 필요 거대한 롤의 수를 - 훨씬 더 당신이 이제까지 앉아 생성 할보다.
(힌트 : d20에 대한 몇 가지 비 균일 확률 세트를 생각해보십시오. d20을 사용하는 결과에 가장 큰 영향을 미치며 시뮬레이션 및 카이 제곱 테스트를 사용하여 이에 대한 힘을 알아냅니다. 다양한 롤 수, 필요한 롤 수에 대한 정보를 얻을 수 있습니다.)
"흥미로운"편차를 확인하는 다양한 방법이 있습니다 (d20의 일반적인 사용에 실질적으로 영향을 줄 수있는 방법).
ECDF 테스트 (Kolmogorov-Smirnov / Anderson-Darling-type 테스트)를 수행하는 것이 좋습니다. 그러나 최소한 공칭 알파 수준을 높이면 분포가 불연속적인 결과로 인한 보수성을 조정할 수 있습니다. 테스트 통계의 분포가 d20에 어떻게 적용되는지 확인하기 위해 분포를 시뮬레이션하는 것이 좋습니다.
이것들은 여전히 모든 종류의 편차를 가져올 수 있지만 더 중요한 종류의 편차에 상대적으로 더 많은 가중치를 부여합니다.
보다 강력한 접근 방식은 가장 중요한 대안에 특히 민감한 테스트 통계를 구체적으로 구성하는 것이지만 조금 더 많은 작업이 필요합니다.
이 답변 에서는 개별 편차의 크기에 따라 다이를 테스트하기위한 그래픽 방법을 제안합니다. 카이 제곱 테스트와 마찬가지로 d4 또는 d6과 같은 측면이 적은 주사위에 더 적합합니다.
각 숫자가 나타나는 횟수 만 확인하려면 카이 제곱 테스트가 적합합니다. 주사위를 N 번 굴린다 고 가정하자. 각 값이 N / 20 번 나타날 것으로 예상합니다. 카이-제곱 테스트는 관찰 한 내용과 획득 한 내용을 비교하는 것입니다. 이 차이가 너무 크면 문제가있는 것입니다.
다른 테스트
예를 들어, 주사위의 다른 측면에 관심이 있다면 주사위가 다음과 같은 결과를 낳았습니다.
1, 2, 3, 4...., 20,1,2,..
그런 다음이 출력에는 각 개별 값의 정확한 수가 있지만 분명히 무작위는 아닙니다. 이 경우이 질문을 살펴보십시오 . 이것은 아마도 전자 주사위에만 의미가 있습니다.
R의 카이 제곱 테스트
R에서 이것은
##Roll 200 times
> rolls = sample(1:20, 200, replace=TRUE)
> chisq.test(table(rolls), p = rep(0.05, 20))
Chi-squared test for given probabilities
data: table(rolls)
X-squared = 16.2, df = 19, p-value = 0.6439
## Too many 1's in the sample
> badrolls = cbind(rolls, rep(1, 10))
> chisq.test(table(badrolls), p = rep(0.05, 20))
Chi-squared test for given probabilities
data: table(badrolls)
X-squared = 1848.1, df = 19, p-value < 2.2e-16
아마도 한 세트의 롤에 그다지 집중해서는 안됩니다.
6면 다이를 10 번 굴려서이 과정을 8 번 반복하십시오.
> xy <- rmultinom(10, n = N, prob = rep(1, K)/K)
> xy
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8]
[1,] 3 1 0 0 1 1 2 1
[2,] 0 0 1 2 1 1 0 1
[3,] 1 3 6 0 1 3 2 4
[4,] 2 1 0 5 2 0 2 1
[5,] 3 2 0 2 1 3 3 0
[6,] 1 3 3 1 4 2 1 3
각 반복의 합이 10인지 확인하십시오.
> apply(xy, MARGIN = 2, FUN = sum)
[1] 10 10 10 10 10 10 10 10
각 반복 (열 단위)에 대해 Chi ^ 2 검정을 사용하여 적합도를 계산할 수 있습니다.
unlist(unname(sapply(apply(xy, MARGIN = 2, FUN = chisq.test), "[", "p.value")))
[1] 0.493373524 0.493373524 0.003491841 0.064663031 0.493373524 0.493373524 0.669182902
[8] 0.235944538
던질수록 더 편향이 적습니다. 이 작업을 다수 수행하십시오.
K <- 20
N <- 10000
xy <- rmultinom(100, n = N, prob = rep(1, K)/K)
hist(unlist(unname(sapply(apply(xy, MARGIN = 2, FUN = chisq.test), "[", "p.value"))))
