임의의 대칭 행렬을 생성하면 양의 명확한 확률은 얼마입니까?

볼록 최적화를 실험 할 때 이상한 질문이 있습니다. 질문은 ~이야:

무작위로 (표준 정규 분포와 같이) 대칭 행렬을 생성한다고 가정합니다 (예 : 상위 삼각 행렬을 생성하고 아래쪽 절반을 채워서 대칭인지 확인하십시오). 매트릭스? 어쨌든 확률을 계산할 수 있습니까? $N \times N$

— 하이 타오 뒤
소스

시뮬레이션 시도 ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen 덕분에 모든 고유 값이 0보다 클 가능성이 궁금합니다. 또는 분석적으로 수행 할 수도 있습니까?

— Haitao Du

답은 행렬을 생성하는 방법에 따라 다릅니다 . 예를 들어, 어떤 방법은 일부 분포에 따라

n

$n$ 실수 고유 값을 생성 한 다음 임의의 직교 행렬에 의해 대각선 행렬을 공액합니다. 모든 고유 값이 양수인 경우에만 결과가 양수입니다. 0 에 대한 분포 대칭에 따라 고유 값을 독립적 으로 생성한다면 , 그 가능성은 최대

입니다. PD 행렬을 생성하려면 고유 값을 잘 선택하십시오! (빠른 작업을 위해 다변량 정규 데이터의 공분산과 같은 행렬을 만듭니다.)

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

아니 질문에 대한 답변을 요청하지만, 제 시뮬레이션 경우 주 매트릭스 것을

L

$L$ 각 항목과 정상 IID와 동일한 사이즈

N

$N$ 다음

N = L L^{T}

$N = LL^T$ 확률 1 대칭 및 명확한 양의

— 클리프 AB

행렬이 표준 정규 iid 항목에서 추출 된 경우 양의 유한 확률은 대략 이므로 예를 들어 인 경우 확률은 1/1000, 그 후 꽤 빨리 내려갑니다. 이 질문에 대한 자세한 설명은 여기를 참조하십시오 . $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ $N=5$

행렬의 고유 값 분포가 대략 Wigner semicircle 이라는 것을 받아들임으로써이 대답을 다소 직관 할 수 있습니다 . 고유 값이 모두 독립적 인 경우이 논리에 의해 양-확정 확률이 있습니다. 실제로 고유 값과 고유 값의 큰 편차, 특히 최소값과 최대 값을 지배하는 법률 간의 상관 관계로 인해 동작이 발생합니다. 특히, 임의의 고유 값은, 따라서 그들이 대전 된 입자와 같은 잠재적 인 필드 이상하게 (각 - 서로를 격퇴, 대전 된 입자에 매우 유사하며, 서로 가까이로하지 좋아해요 , $(1/2)^N$ $N^2$ $\propto 1/r$ $r$ 인접한 고유 값 사이의 거리입니다). 그러므로 모두에게 긍정적 인 요구를하는 것은 매우 큰 요청 일 것입니다.

또한 랜덤 매트릭스 이론의 보편성 법칙 때문에 위의 확률 은 유한 평균 및 표준 편차를 갖는 iid 엔트리를 갖는 본질적으로 "합리적인"랜덤 매트릭스에 대해 동일 할 가능성이 높습니다. $p_N$

— 알렉스 알
소스

그것이 매우 낮은 것을 아는 것이 좋습니다. 따라서 향후 거부 샘플링을 사용하여 SPD 매트릭스를 만들지 않습니다.

— Haitao Du

@ hxd1011 : SPD 행렬을 샘플링하려고하면 위의 주석에 설명 된 방법을 제안합니다. 또한, Cholesky 분해

— Cliff AB

@CliffAB 감사합니다. 나는 보통 일부 데이터의 SPD 행렬 형태 공분산 행렬을 생성하거나 것과 비슷한 에서 합니다. 나는 라고하는 작은 행렬에 수동으로 숫자를 넣을 시간이 있었고 그것이 PD 행렬이라고 희망했습니다.

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$

— Haitao Du