임의의 대칭 행렬을 생성하면 양의 명확한 확률은 얼마입니까?


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볼록 최적화를 실험 할 때 이상한 질문이 있습니다. 질문은 ~이야:

무작위로 (표준 정규 분포와 같이) 대칭 행렬을 생성한다고 가정합니다 (예 : 상위 삼각 행렬을 생성하고 아래쪽 절반을 채워서 대칭인지 확인하십시오). 매트릭스? 어쨌든 확률을 계산할 수 있습니까?×


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시뮬레이션 시도 ...
kjetil b halvorsen

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@kjetilbhalvorsen 덕분에 모든 고유 값이 0보다 클 가능성이 궁금합니다. 또는 분석적으로 수행 할 수도 있습니까?
Haitao Du

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답은 행렬을 생성하는 방법에 따라 다릅니다 . 예를 들어, 어떤 방법은 일부 분포에 따라 실수 고유 값을 생성 한 다음 임의의 직교 행렬에 의해 대각선 행렬을 공액합니다. 모든 고유 값이 양수인 경우에만 결과가 양수입니다. 0대한 분포 대칭에 따라 고유 값을 독립적 으로 생성한다면 , 그 가능성은 최대 2 ^ {-n} 입니다. PD 행렬을 생성하려면 고유 값을 잘 선택하십시오! (빠른 작업을 위해 다변량 정규 데이터의 공분산과 같은 행렬을 만듭니다.)2
whuber

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아니 질문에 대한 답변을 요청하지만, 제 시뮬레이션 경우 주 매트릭스 것을 각 항목과 정상 IID와 동일한 사이즈 다음 = 확률 1 대칭 및 명확한 양의
클리프 AB

답변:


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행렬이 표준 정규 iid 항목에서 추출 된 경우 양의 유한 확률은 대략 이므로 예를 들어 인 경우 확률은 1/1000, 그 후 꽤 빨리 내려갑니다. 이 질문에 대한 자세한 설명은 여기를 참조하십시오 .2/4=5

행렬의 고유 값 분포가 대략 Wigner semicircle 이라는 것을 받아들임으로써이 대답을 다소 직관 할 수 있습니다 . 고유 값이 모두 독립적 인 경우이 논리에 의해 양-확정 확률이 있습니다. 실제로 고유 값과 고유 값의 큰 편차, 특히 최소값과 최대 값을 지배하는 법률 간의 상관 관계로 인해 동작이 발생합니다. 특히, 임의의 고유 값은, 따라서 그들이 대전 된 입자와 같은 잠재적 인 필드 이상하게 (각 - 서로를 격퇴, 대전 된 입자에 매우 유사하며, 서로 가까이로하지 좋아해요 ,(1/2)21/아르 자형아르 자형인접한 고유 값 사이의 거리입니다). 그러므로 모두에게 긍정적 인 요구를하는 것은 매우 큰 요청 일 것입니다.

또한 랜덤 매트릭스 이론의 보편성 법칙 때문에 위의 확률 은 유한 평균 및 표준 편차를 갖는 iid 엔트리를 갖는 본질적으로 "합리적인"랜덤 매트릭스에 대해 동일 할 가능성이 높습니다.


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그것이 매우 낮은 것을 아는 것이 좋습니다. 따라서 향후 거부 샘플링을 사용하여 SPD 매트릭스를 만들지 않습니다.
Haitao Du

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@ hxd1011 : SPD 행렬을 샘플링하려고하면 위의 주석에 설명 된 방법을 제안합니다. 또한, Cholesky 분해
Cliff AB

@CliffAB 감사합니다. 나는 보통 일부 데이터의 SPD 행렬 형태 공분산 행렬을 생성하거나 것과 비슷한 에서 합니다. 나는 라고하는 작은 행렬에 수동으로 숫자를 넣을 시간이 있었고 그것이 PD 행렬이라고 희망했습니다. 에이'에이2×2
Haitao Du
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