가 독립 변수 인 경우 분포

일상적인 연습으로, 의 분포를 찾으려고합니다. 여기서 와 는 독립적 인 임의 변수입니다. $\sqrt{X^2+Y^2}$ $X$ $Y$ $U(0,1)$

의 접합 밀도 는 $(X,Y)$

f_{X, Y} (x, y) = 1_{0 < x, y < 1}

$f_{X,Y}(x,y)=\mathbf 1_{0<x,y<1}$

극 좌표로 변환하는 되도록 $(X,Y)\to(Z,\Theta)$

X = Z \cos Θ and Y = Z \sin Θ

$X=Z\cos\Theta\qquad\text{ and }\qquad Y=Z\sin\Theta$

따라서 및 입니다. $z=\sqrt{x^2+y^2}$ $0< x,y<1\implies0< z<\sqrt 2$

경우 , 우리가 그래서 . $0< z<1$ $0< \cos\theta<1,\,0<\sin\theta<1$ $0<\theta<\frac{\pi}{2}$

경우 , 우리가 등 IS 감소에 ; 및 과 같은 에 증가 입니다. $1< z<\sqrt 2$ $z\cos\theta<\implies\theta>\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$ $\cos\theta$ $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ $z\sin\theta<1\implies\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$ $\sin\theta$ $\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$

따라서 경우 . $1< z<\sqrt 2$ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)<\theta<\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$

변환의 자코비 안의 절대 값은

| J | = z

$|J|=z$

따라서 공동 밀도 주어진다 $(Z,\Theta)$

f_{Z, Θ} (z, θ) = z 1_{{z \in (0, 1), θ \in (0, π / 2)} ⋃ {z \in (1, \sqrt{2}), θ \in (\cos^{- 1} (1 / z), \sin^{- 1} (1 / z))}}

$f_{Z,\Theta}(z,\theta)=z\mathbf 1_{\{z\in(0,1),\,\theta\in\left(0,\pi/2\right)\}\bigcup\{z\in(1,\sqrt2),\,\theta\in\left(\cos^{-1}\left(1/z\right),\sin^{-1}\left(1/z\right)\right)\}}$

통합하면 과 같이 의 pdf를 얻습니다. $\theta$ $Z$

f_{Z} (z) = \frac{π z}{2} 1_{0 < z < 1} + (\frac{π z}{2} - 2 z \cos^{- 1} (\frac{1}{z})) 1_{1 < z < \sqrt{2}}

$f_Z(z)=\frac{\pi z}{2}\mathbf 1_{0<z<1}+\left(\frac{\pi z}{2}-2z\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)\right)\mathbf 1_{1<z<\sqrt 2}$

위의 추론이 맞습니까? 어쨌든이 방법을 피하고 대신 의 cdf를 직접 찾으려고합니다 . 그러나 기하학적으로 평가하는 동안 원하는 영역을 찾을 수 없습니다 . $Z$ $\mathrm{Pr}(Y\le \sqrt{z^2-X^2})$

편집하다.

의 분포 함수를 노력 했습니다. $Z$

\begin{aligned} F_{Z} (z) & = Pr (Z \leq z) \\ = Pr (X^{2} + Y^{2} \leq z^{2}) \\ = \iint_{x^{2} + y^{2} \leq z^{2}} 1_{0 < x, y < 1} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} F_Z(z)&=\Pr(Z\le z) \\&=\Pr(X^2+Y^2\le z^2) \\&=\iint_{x^2+y^2\le z^2}\mathbf1_{0<x,y<1}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{align}$

Mathematica 는 이것을 줄여야한다고 말합니다.

F_{Z} (z) = {\begin{cases} 0 & , if z < 0 \\ \frac{π z^{2}}{4} & , if 0 < z < 1 \\ \sqrt{z^{2} - 1} + \frac{z^{2}}{2} (\sin^{- 1} (\frac{1}{z}) - \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{z^{2} - 1}}{z})) & , if 1 < z < \sqrt{2} \\ 1 & , if z > \sqrt{2} \end{cases}

$F_Z(z)=\begin{cases}0 &,\text{ if }z<0\\ \frac{\pi z^2}{4} &,\text{ if } 0< z<1\\ \sqrt{z^2-1}+\frac{z^2}{2}\left(\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)-\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z}\right)\right) &,\text{ if }1< z<\sqrt 2\\ 1 &,\text{ if }z>\sqrt 2 \end{cases}$

올바른 표현처럼 보입니다. 사례 대해 를 차별화 이미 얻은 pdf를 쉽게 단순화 할 수없는 표현이 나타납니다. $F_Z$ $1< z<\sqrt 2$

마지막으로 CDF에 대한 올바른 그림이 있다고 생각합니다.

들면 : $0<z<1$

그리고 : $1<z<\sqrt 2$

음영 부분은 영역의 영역을 나타내도록되어 있습니다

{(x, y) : 0 < x, y < 1, x^{2} + y^{2} \leq z^{2}}

$\left\{(x,y):0<x,y< 1\,,\,x^2+y^2\le z^2\right\}$

사진이 즉시 산출됩니다

\begin{aligned} F_{Z} (z) & = Pr (- \sqrt{z^{2} - X^{2}} \leq Y \leq \sqrt{z^{2} - X^{2}}) \\ = {\begin{cases} \frac{π z^{2}}{4} & , if 0 < z < 1 \\ \sqrt{z^{2} - 1} + \int_{\sqrt{z^{2} - 1}}^{1} \sqrt{z^{2} - x^{2}} d x & , if 1 < z < \sqrt{2} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} F_Z(z)&=\Pr\left(-\sqrt{z^2-X^2}\le Y\le\sqrt{z^2-X^2}\right) \\&=\begin{cases}\frac{\pi z^2}{4} &,\text{ if } 0<z<1\\\\ \sqrt{z^2-1}+\int_{\sqrt{z^2-1}}^1 \sqrt{z^2-x^2}\,\mathrm{d}x &,\text{ if }1< z<\sqrt 2 \end{cases} \end{align}$

이전에 찾은 것처럼.

— 완고한 원자
소스

CDF를 직접 찾으려면 표시기 기능을 사용하십시오. 들면나머지는 순전히 대수 조작입니다. (편집 : @ Xi'an이 방금 그의 답변에 대수를 게시 한 것을 볼 수 있습니다.)

z \geq 0,

$z\ge 0,$

Pr (\sqrt{X^{2} + Y^{2}} \leq z) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} I (x^{2} + y^{2} \leq z^{2}) d x d y .

$\Pr(\sqrt{X^2+Y^2}\le z)=\int_0^1\int_0^1\mathcal{I}(x^2+y^2\le z^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

— whuber

편집 : 나는 또한 여러 가지 다른 표현 FullSimplify을 얻었고 Mathematica의 다른 수식으로 단순화합니다 . 그러나 이들은 동등합니다. 차이점을 그려서 쉽게 알 수 있습니다. 분명히 Mathematica 는 를 .

\tan^{- 1} (\sqrt{z^{2} - 1}) = \sec^{- 1} (z)

$\tan ^{-1}\left(\sqrt{z^2-1}\right)=\sec ^{-1}(z)$

1 < z < \sqrt{2}

$1\lt z \lt \sqrt{2}$

— whuber

마지막 그림에서 표면의 가장자리 는 중심이 (0,0) 인 (반) 원이어야합니다. 따라서 (현재 그려진) 볼록 대신 오목합니다.

\sqrt{r^{2} - x^{2}}

$\sqrt{r^2-x^2}$

— Sextus Empiricus

답변:

pdf가 정확한지 간단한 시뮬레이션으로 확인할 수 있습니다

samps=sqrt(runif(1e5)^2+runif(1e5)^2)
hist(samps,prob=TRUE,nclass=143,col="wheat")
df=function(x){pi*x/2-2*x*(x>1)*acos(1/(x+(1-x)*(x<1)))}
curve(df,add=TRUE,col="sienna",lwd=3)

변수의 극적 변화없이 CDF를 찾는 것은

\begin{aligned} P r (\sqrt{X^{2} + Y^{2}} \leq z) & = P r (X^{2} + Y^{2} \leq z^{2}) \\ = P r (Y^{2} \leq z^{2} - X^{2}) \\ = P r (Y \leq \sqrt{z^{2} - X^{2}}, X \leq z) \\ = E^{X} [\sqrt{z^{2} - X^{2}} I_{[0, min (1, z)]} (X)] \\ = \int_{0}^{min (1, z)} \sqrt{z^{2} - x^{2}} d x \\ = z^{2} \int_{0}^{min (1, z^{- 1})} \sqrt{1 - y^{2}} d y [x = y z, d x = z d y] \\ = z^{2} \int_{0}^{min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1})} \sin^{2} θ d θ [y = \cos (θ), d y = \sin (θ) d θ] \\ = \frac{z^{2}}{2} [min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1}) - \sin {min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1})} \cos {min (π / 2, \cos^{- 1} z^{- 1}}] \\ = \frac{z^{2}}{2} {\begin{cases} π / 2 & if z < 1 \\ \cos^{- 1} z^{- 1} - \sin {\cos^{- 1} z^{- 1})} z^{- 1} & if z \geq 1 \end{cases} \\ = \frac{z^{2}}{2} {\begin{cases} π / 2 & if z < 1 \\ \cos^{- 1} z^{- 1} - \sqrt{1 - z^{- 2}} z^{- 1} & if z \geq 1 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{Pr}(\sqrt{X^2+Y^2}\le z) &= \mathrm{Pr}(X^2+Y^2\le z^2)\\ &= \mathrm{Pr}(Y^2\le z^2-X^2)\\ &=\mathrm{Pr}(Y\le \sqrt{z^2-X^2}\,,X\le z)\\ &=\mathbb{E}^X[\sqrt{z^2-X^2}\mathbb{I}_{[0,\min(1,z)]}(X)]\\ &=\int_0^{\min(1,z)} \sqrt{z^2-x^2}\,\text{d}x\\ &=z^2\int_0^{\min(1,z^{-1})} \sqrt{1-y^2}\,\text{d}y\qquad [x=yz\,,\ \text{d}x=z\text{d}y]\\ &=z^2\int_0^{\min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1})} \sin^2{\theta} \,\text{d}\theta\qquad [y=\cos(\theta)\,,\ \text{d}y=\sin(\theta)\text{d}\theta]\\ &=\frac{z^2}{2}\left[ \min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1}) - \sin\{\min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1})\}\cos\{\min(\pi/2,\cos^{-1} z^{-1}\}\right]\\ &=\frac{z^2}{2}\begin{cases} \pi/2 &\text{ if }z<1\\ \cos^{-1} z^{-1}-\sin\{\cos^{-1} z^{-1})\}z^{-1}&\text{ if }z\ge 1\\ \end{cases}\\ &=\frac{z^2}{2}\begin{cases} \pi/2 &\text{ if }z<1\\ \cos^{-1} z^{-1}-\sqrt{1-z^{-2}}z^{-1}&\text{ if }z\ge 1\\ \end{cases} \end{align*}$ 이는 동일한 복잡성으로 끝납니다! (그리고 길을 따라 내 잠재적 인 실수!)

— 시안
소스

케이스 는 약간 흐릿 얻을 곳이다. 식을 차별화하는 올바른 pdf로 끝나지 않는 것 같습니다 .

1 \leq z < \sqrt{2}

$1\le z<\sqrt 2$

z \geq 1

$z\ge 1$

— StubbornAtom

$f_z(z)$ :

따라서 경우 $1\le z<\sqrt 2$ $\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)\le\theta\le\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$

대칭을 사용할 때 표현식을 단순화하고 대한 표현식을 평가할 수 있습니다 . 따라서 공간의 절반에 대해 결과를 두 배로 늘립니다. $\theta_{min} < \theta < \frac{\pi}{4}$

그럼 당신은 얻을 :

P (Z \leq r) = 2 \int_{0}^{r} z (\int_{θ_{m i n}}^{\frac{π}{4}} d θ) d z = \int_{0}^{r} z (\frac{π}{2} - 2 θ_{m i n}) d z

$P(Z \leq r) = 2 \int_0^r z \left(\int_{\theta_{min}}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\right) dz = \int_0^r z \left(\frac{\pi}{2}-2\theta_{min}\right) dz$

그리고 당신의 는 $f_z(z)$

f_{z} (z) = z (\frac{π}{2} - 2 θ_{m i n}) = {\begin{cases} z (\frac{π}{2}) & if 0 \leq z \leq 1 \\ z (\frac{π}{2} - 2 \cos^{- 1} (\frac{1}{z})) & if 1 < z \leq \sqrt{2} \end{cases}

$f_z(z) = z \left(\frac{\pi}{2}-2\theta_{min}\right) = \begin{cases} z\left(\frac{\pi}{2}\right) & \text{ if } 0 \leq z \leq 1 \\ z \left(\frac{\pi}{2} - 2 \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)\right) & \text{ if } 1 < z \leq \sqrt{2} \end{cases}$

$F_z(z)$ :

무한 적분을 사용할 수 있습니다.

\int z \cos^{- 1} (\frac{1}{z}) = \frac{1}{2} z (z \cos^{- 1} (\frac{1}{z}) - \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}) + C

$\int z \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{2} z \left( z \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) - \sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \right) + C$

참고 $\frac{d}{du} \cos^{-1}(u) = - (1-u^2)^{-0.5}$

이 리드에 대한 Xi'ans 표현식으로 비슷한에 간단 , 즉 $Pr(Z \leq z)$

만약 다음 : $1 \leq z \leq \sqrt{2}$

F_{z} (z) = z^{2} (\frac{π}{4} - \cos^{- 1} (\frac{1}{z}) + z^{- 1} \sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}})

$F_z(z) = {z^2} \left(\frac{\pi}{4}-\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) + z^{-1}\sqrt{1-\frac{1}{z^2}} \right)$

을 두 개의 식으로 나눈 다음 다른 식으로 변환하면 식과의 관계가 나타납니다. $cos^{-1}$ $cos^{-1}$ $sin^{-1}$

위한 우리가 $z>1$

\cos^{- 1} (\frac{1}{z}) = \sin^{- 1} (\sqrt{1 - \frac{1}{z^{2}}}) = \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{z^{2} - 1}}{z})

$\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) = \sin^{-1}\left(\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z}\right)$

과

\cos^{- 1} (\frac{1}{z}) = \frac{π}{2} - \sin^{- 1} (\frac{1}{z})

$\cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) = \frac{\pi}{2} -\sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$

그래서

\begin{matrix} \cos^{- 1} (\frac{1}{z}) & = 0.5 \cos^{- 1} (\frac{1}{z}) + 0.5 \cos^{- 1} (\frac{1}{z}) \\ = \frac{π}{4} - 0.5 \sin^{- 1} (\frac{1}{z}) + 0.5 \sin^{- 1} (\frac{\sqrt{z^{2} - 1}}{z}) \end{matrix}

$\begin{array}\\ \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) & = 0.5 \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) + 0.5 \cos^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) \\ & = \frac{\pi}{4} - 0.5 \sin^{-1}\left(\frac{1}{z}\right) + 0.5 \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{z^2-1}}{z}\right) \end{array}$

에 대해 앞에서 언급 한 에 연결하면식이됩니다. $F_z(z)$ $1<z<\sqrt{2}$

— Sextus Empiricus
소스

들어 , 반경의 분기 써클의 일부 영역 만 이다 . 즉, $0 \leq z \leq 1$ $P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)$ $z$ $\frac 14 \pi z^2$

For 0 \leq z \leq 1, area of quarter-circle = \frac{π z^{2}}{4} = P (\sqrt{X^{2} + Y^{2}} \leq z) .

$\text{For }0 \leq z \leq 1, ~\text{area of quarter-circle} = \frac{\pi z^2}{4} = P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right).$

옵션 , 우리가 발견 통합해야하는 동안 영역 두 직각 삼각형으로 분할 될 수있다 그중 하나에는 꼭짓점 및 있고 다른 하나에는 꼭짓점 있으며 A를 함께 섹터 반경의 원의 와 협각 . 이 영역의 면적 (따라서 )의 값을 쉽게 찾을 수 있습니다. $1 < z \leq \sqrt{2}$ $P\left(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)$ $\big($ $(0,0), (0,1)$ $(\sqrt{z^2-1}, 1)$ $(0,0), (1,0)$ $(1, \sqrt{z^2-1})$ $\big)$ $z$ $\frac{\pi}{2}-2\arccos\left(\frac{1}{z}\right)$ $\left( P(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)$ $1 < z \leq \sqrt{2}$ , 은 Martijn Wetering의 답변입니다.

\begin{aligned} area of region & = area of two triangles plus area of sector \\ = \sqrt{z^{2} - 1} + \frac{1}{2} z^{2} (\frac{π}{2} - 2 \arccos (\frac{1}{z})) \\ = \frac{π z^{2}}{4} + \sqrt{z^{2} - 1} - z^{2} \arccos \frac{1}{z} \\ = (P (\sqrt{X^{2} + Y^{2}} \leq z) \end{aligned}

$\begin{align}\text{area of region} &= \text{area of two triangles plus area of sector}\\ &=\sqrt{z^2-1} + \frac 12 z^2\left( \frac{\pi}{2}-2\arccos \left(\frac{1}{z}\right)\right)\\ &= \frac{\pi z^2}{4} + \sqrt{z^2-1} - z^2\arccos \frac{1}{z}\\ &= \left( P(\sqrt{X^2+Y^2} \leq z\right)\end{align}$

— 디립 사르 베이트
소스

가 독립 변수 인 경우 분포

fz(z)fz(z)f_z(z) :

Fz(z)Fz(z)F_z(z) :

$f_z(z)$ :

$F_z(z)$ :