내가 가진 가정 응답을 제공합니다 각각 누구의 참가자, 20 배, 10 조건 하나와 또 다른 10를. 각 조건에서 를 비교하는 선형 혼합 효과 모델에 적합합니다 . 다음은 패키지를 사용하여이 상황을 시뮬레이션하는 재현 가능한 예제 입니다 .$N$$Y$$Y$lme4R

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

이 모델 m은 2 개의 고정 효과 (조건에 대한 절편 및 기울기)와 3 개의 임의 효과 (참가자 별 무작위 절편, 조건에 대한 참가자 별 무작위 기울기 및 절편-기울기 상관)를 산출합니다.

다음에 의해 정의 된 그룹 전체의 참가자 별 랜덤 절편 분산의 크기를 통계적으로 비교하고 싶습니다 condition(즉, 제어 및 실험 조건 내 에서 빨간색으로 강조 표시된 분산 성분을 계산 한 다음 성분의 크기 차이가 있는지 테스트 함). 0이 아님). 어떻게해야합니까 (R에서 선호)?

---

보너스

모델이 약간 더 복잡하다고 가정 해 봅시다. 참가자들은 각각 20 번씩 10 번, 10 번은 10 번, 10 번은 다른 조건으로 경험합니다. 따라서 두 가지 교차 무작위 효과 세트가 있습니다 : 참가자에 대한 무작위 효과와 자극에 대한 무작위 효과. 재현 가능한 예는 다음과 같습니다.

library(lme4)
fml <- "~ condition + (condition | participant_id) + (condition | stimulus_id)"
d <- expand.grid(participant_id=1:40, stimulus_id=1:10, trial_num=1:10)
d <- rbind(cbind(d, condition="control"), cbind(d, condition="experimental"))

set.seed(23432)
d <- cbind(d, simulate(formula(fml), 
                       newparams=list(beta=c(0, .5), 
                                      theta=c(.5, 0, 0, .5, 0, 0), 
                                      sigma=1), 
                       family=gaussian, 
                       newdata=d))

m <- lmer(paste("sim_1 ", fml), data=d)
summary(m)

에 의해 정의 된 그룹에서 무작위 참가자 간 가로 채기 분산의 크기를 통계적으로 비교하고 싶습니다 condition. 어떻게해야합니까? 프로세스는 위에서 설명한 상황과 다른 것입니까?

---

편집하다

내가 찾고있는 것에 대해 좀 더 구체적으로 말하고 싶습니다.

1. "각각의 조건 내의 조건부 평균 반응 (즉, 각 조건의 랜덤 절편 값)이 샘플링 오류로 인해 예상되는 것 이상으로 서로 실질적으로 다른가?"라는 질문이 잘 정의 된 질문입니까 (즉,이 질문입니까? 이론적으로 대답 할 수 있습니까)? 그렇지 않다면 왜 안됩니까?
2. 질문 (1)에 대한 답변이 예라면 어떻게 대답합니까? R구현 을 선호 하지만 lme4패키지 와 관련이 없습니다. 예를 들어 OpenMx패키지에 다중 그룹 및 다중 수준 분석을 수용하는 기능이있는 것 같습니다 ( https : //openmx.ssri.psu). edu / openmx-features ), 이는 SEM 프레임 워크에서 대답 할 수있는 일종의 질문처럼 보입니다.

이 가설을 테스트하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예를 들어, @amoeba가 설명한 절차가 작동합니다. 그러나 그것을 테스트하는 가장 간단하고 가장 편리한 방법은 두 개의 중첩 모델을 비교하는 좋은 오래된 우도 비율 테스트를 사용하는 것 같습니다. 이 접근법의 잠재적으로 까다로운 부분은 단일 모수를 제거하여 불균형 분산의 원하는 가설을 명확하게 테스트 할 수 있도록 모델 쌍을 설정하는 방법을 아는 것입니다. 아래에 그 방법을 설명합니다.

짧은 답변

독립 변수에 대한 대비 (합계에서 0으로) 코딩으로 전환 한 다음 전체 모형을 임의의 기울기와 임의의 절편 간의 상관을 0으로 강제하는 모델과 비교할 가능성 비율 테스트를 수행하십시오.

# switch to numeric (not factor) contrast codes
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# reduced model without correlation parameter
mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id), data=d)

# full model with correlation parameter
mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id), data=d)

# likelihood ratio test
anova(mod1, mod2)

시각적 설명 / 직관

이 해답을 이해하려면 관찰 된 데이터에 대해 서로 다른 상관 매개 변수 값이 무엇을 의미하는지 직관적으로 이해해야합니다. (임의로 변하는) 주제별 회귀선을 고려하십시오. 기본적으로 상관 관계 매개 변수는 점을 기준으로 참가자 회귀선이 "오른쪽으로 팬 아웃"(양의 상관 관계) 또는 "왼쪽으로 팬 아웃"(음의 상관 관계)인지 여부를 제어합니다. 여기서 X는 대비 코딩 된 독립 변하기 쉬운. 이 중 하나는 참가자의 조건부 평균 응답에서 불균형 한 차이를 의미합니다. 아래에 설명되어 있습니다.$X=0$

이 그림에서 우리는 각 조건에서 각 대상에 대해 여러 관찰을 무시하고 대신 대상의 임의의 기울기를 나타내는 선으로 연결하여 각 대상의 두 임의의 평균을 플로팅합니다. (이는 OP에 게시 된 데이터가 아니라 10 개의 가상 주제의 데이터로 구성됩니다.)

음의 기울기-절편 상관 관계가 강한 왼쪽 열에서 회귀선은 점을 기준으로 왼쪽으로 펼쳐집니다 . 는 도면에 명확하게 볼 수있는 바와 같이 상태에서 피험자의 임의의 방법에서 큰 변동이 오퍼 상태보다 .$X=0$X = − 1 X = 1$X=-1$$X=1$

오른쪽 열은이 패턴의 반전 미러 이미지를 보여줍니다. 이 경우, 조건 보다 조건 에서 대상체의 랜덤 평균에 큰 차이가있다 .$X=1$$X=-1$

가운데 열은 랜덤 슬로프와 랜덤 인터셉트가 상관되지 않은 경우 발생하는 상황을 보여줍니다. 이는 회귀선이 점을 기준으로 오른쪽으로 펼치는만큼 정확하게 왼쪽으로 펼칩니다 . 이것은 두 조건에서 대상의 평균의 분산이 같다는 것을 의미합니다.$X=0$

그것은 우리가 합계 0으로 대비 코딩 방식, 사용했던 것을 여기에 결정적 하지 더미 코드 (즉,에서 그룹을 설정하지 않는 대 ). 그것이 단지 우리가 차이가 동일한 것을 특징으로이 관계가있는 반면 코딩 방식에 따라 경우에만 기울기 절편 상관이 0이면 빌드하려고 아래 그림 직관한다 :$X=0$$X=1$

이 그림이 보여주는 것은 두 열에서 동일한 정확한 데이터 집합이지만 독립 변수는 두 가지 다른 방식으로 코딩됩니다. 왼쪽 열에는 대비 코드가 사용됩니다. 이는 첫 번째 그림의 상황입니다. 오른쪽 열에는 더미 코드가 사용됩니다. 이것은 절편의 의미를 변경합니다. 이제 절편은 통제 그룹에서 대상의 예측 된 반응을 나타냅니다. 하단 패널은 이러한 변화의 결과를 보여줍니다. 즉, 데이터가 깊은 의미에서 동일하고 조건부 분산이 두 경우 모두 동일하지만 기울기-절편 상관이 더 이상 0에 가까워지지 않습니다. 이것이 여전히 의미가없는 것처럼 보인다면, 이 현상에 대해 더 많이 이야기하는 나의 이전 답변을 연구 하면 도움 이 될 것입니다.

증명

하자 될 의 반응 번째 조건 하에서 피사체 번째 . (여기서 두 개의 조건 만 있으므로 는 1 또는 2입니다.) 그런 다음 혼합 모델은 로 작성 될 수 있습니다 여기서 는 대상의 임의 가로 채기입니다. 분산 , 는 피험자의 랜덤 기울기이고 분산 , 는 관측 수준 오류 항이고 입니다.$y_{ijk}$$j$$i$$k$$k$

$$y_{ijk} = \alpha_i + \beta_ix_k + e_{ijk},$$ $\alpha_i$$\sigma^2_\alpha$$\beta_i$$\sigma^2_\beta$$e_{ijk}$$\text{cov}(\alpha_i, \beta_i)=\sigma_{\alpha\beta}$

우리는 표시하고자하는 그

$$\text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) = \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta}=0.$$

이 의미의 왼쪽부터 시작하여

$$\begin{aligned} \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_1) &= \text{var}(\alpha_i + \beta_ix_2) \\ \sigma^2_\alpha + x^2_1\sigma^2_\beta + 2x_1\sigma_{\alpha\beta} &= \sigma^2_\alpha + x^2_2\sigma^2_\beta + 2x_2\sigma_{\alpha\beta} \\ \sigma^2_\beta(x_1^2 - x_2^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 - x_2) &= 0. \end{aligned}$$

합산 대비 코드는 및 합니다. 그런 다음 위의 마지막 줄을 이것은 우리가 증명하고자하는 것입니다. (암시의 다른 방향을 설정하기 위해 동일한 단계를 반대로 수행하면됩니다.)$x_1 + x_2 = 0$$x_1^2 = x_2^2 = x^2$

$$\begin{aligned} \sigma^2_\beta(x^2 - x^2) + 2\sigma_{\alpha\beta}(x_1 + x_1) &= 0 \\ \sigma_{\alpha\beta} &= 0, \end{aligned}$$

다시 한번 강조 있음이 도시 독립 변수 콘트라스트 (제로 합) 코딩의 경우 , 그 각각의 상태에서 피험자의 임의의 수단의 편차를가 동일한 경우에만 임의의 경사면 랜덤 도청 사이의 상관 관계가 0 인 경우 키 이 모든 점에서 이라는 귀무 가설을 테스트하면 OP에 설명 된 동일한 분산의 귀무 가설을 테스트 할 수 있습니다.$\sigma_{\alpha\beta} = 0$

독립 변수가 더미 코딩 된 경우에는 작동하지 않습니다. 특히 및 값을 위의 방정식에 연결하면 $x_1=0$$x_2=1$

$$\text{var}(\alpha_i) = \text{var}(\alpha_i + \beta_i) \Leftrightarrow \sigma_{\alpha\beta} = -\frac{\sigma^2_\beta}{2}.$$

lme4 패키지가 기능 하는 추정 신뢰 구간을 사용하여 모델 매개 변수의 유의성을 테스트 할 수 있습니다 confint.merMod.

부트 스트랩 (예 : 부트 스트랩의 신뢰 구간 참조 )

> confint(m, method="boot", nsim=500, oldNames= FALSE)
Computing bootstrap confidence intervals ...
                                                           2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.32764600 0.64763277
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.00000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.02249989 0.46871800
sigma                                                 0.97933979 1.08314696
(Intercept)                                          -0.29669088 0.06169473
conditionexperimental                                 0.26539992 0.60940435 

가능성 프로파일 (예 : 프로파일 가능성과 신뢰 구간의 관계는 무엇입니까? 참조 )

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                                          2.5 %     97.5 %
sd_(Intercept)|participant_id                         0.3490878 0.66714551
cor_conditionexperimental.(Intercept)|participant_id -1.0000000 1.00000000
sd_conditionexperimental|participant_id               0.0000000 0.49076950
sigma                                                 0.9759407 1.08217870
(Intercept)                                          -0.2999380 0.07194055
conditionexperimental                                 0.2707319 0.60727448

---

• 방법도 'Wald'있지만 이것은 고정 효과에만 적용됩니다.

• 패키지에는 anova (우도 비율) 유형의 표현식 lmerTest이 ranova있습니다. 그러나 나는 이것을 이해하지 못하는 것 같습니다. 귀무 가설 (임의 효과에 대한 제로 분산)이 참일 때 logLikelihood의 차이 분포는 카이-제곱 분포 가 아닙니다 (참가자 수와 시행 횟수가 높을 경우 우도 비 검정이 의미가있을 수 있음).

---

특정 그룹의 차이

특정 그룹의 분산에 대한 결과를 얻으려면 다시 매개 변수를 지정할 수 있습니다

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out) 
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "

데이터 프레임에 두 개의 열을 추가 한 ^{경우 (비상 관적 '제어'및 '실험적'을 평가하려는 경우에만 필요합니다. 함수 (0 + condition || participant_id)는 상관되지 않은 상태의 여러 요인을 평가하지 않습니다)}

#adding extra columns for control and experimental
d <- cbind(d,as.numeric(d$condition=='control'))
d <- cbind(d,1-as.numeric(d$condition=='control'))
names(d)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

이제 lmer다른 그룹에 대한 분산을 제공합니다

> m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
> m
Linear mixed model fit by REML ['lmerModLmerTest']
Formula: paste("sim_1 ", fml1)
   Data: d
REML criterion at convergence: 2408.186
Random effects:
 Groups           Name         Std.Dev.
 participant_id   control      0.4963  
 participant_id.1 experimental 0.4554  
 Residual                      1.0268  
Number of obs: 800, groups:  participant_id, 40
Fixed Effects:
          (Intercept)  conditionexperimental  
               -0.114                  0.439 

그리고 여기에 프로파일 방법을 적용 할 수 있습니다. 예를 들어 이제 confint는 제어 및 실행 분산에 대한 신뢰 구간을 제공합니다.

> confint(m, method="profile", oldNames= FALSE)
Computing profile confidence intervals ...
                                    2.5 %     97.5 %
sd_control|participant_id       0.3490873 0.66714568
sd_experimental|participant_id  0.3106425 0.61975534
sigma                           0.9759407 1.08217872
(Intercept)                    -0.2999382 0.07194076
conditionexperimental           0.1865125 0.69149396

---

간단

우도 함수를 사용하여 고급 비교를 얻을 수 있지만 도로를 따라 근사치를 만드는 방법은 여러 가지가 있습니다 (예 : 보수적 인 anova / lrt-test를 수행 할 수는 있지만 원하는 것이 있습니까?).

이 시점에서 실제로 분산 사이의 비교 (이것은 일반적이지 않음)가 무엇인지 궁금합니다. 그것이 너무 정교 해지기 시작하는지 궁금합니다. 왜 분산 (고전 F- 분포와 관련이있는) 의 비율 대신 분산 의 차이가 발생 합니까? 신뢰 구간 만보고하지 않는 이유는 무엇입니까? 우리는 통계적 문제와 실제로 주요 주제 인 통계적 고려 사항에 불필요하고 느슨한 접촉을 할 수있는 고급 경로로 이동하기 전에 한 걸음 물러서서 데이터와 이야기를 명확히해야합니다.

나는 단순히 신뢰 구간 (가설 검정보다 훨씬 더 많은 것을 말해 줄 수 있음)을 진술하는 것보다 훨씬 더 많은 것을해야하는지 궁금합니다. 가설 검정은 대답이 없지만 인구의 실제 분포에 대한 정보는 없습니다. 유의미한 차이로보고되도록 약간의 차이를 만드십시오. (어떤 목적 으로든)이 문제에 더 깊이 들어가기 위해서는 수학 기계가 올바른 단순화를 할 수 있도록 안내하기위한보다 구체적이고 (좁게 정의 된) 연구 문제가 필요하다고 생각합니다 (정확한 계산이 가능할 때 또는 시뮬레이션 / 부트 스트랩 핑으로 근사 할 수 있지만 일부 설정에서는 여전히 적절한 해석이 필요합니다. 피셔의 정확한 테스트와 비교하여 (특별한) 질문 (우발 상황 테이블에 대한)을 정확하게 해결하십시오.

간단한 예

가능한 단순성의 예를 제공하기 위해 개별 평균 반응의 분산을 비교하고 비교하여 수행 한 F- 검정을 기반으로 두 그룹 분산 간의 차이를 간단히 평가하여 비교 (시뮬레이션으로) 아래에 표시합니다. 혼합 모형 파생 분산

F- 검정의 경우 두 그룹의 개인 값 (평균)의 분산을 간단히 비교합니다. 이러한 수단은 다음과 같이 분배 된 조건 됩니다.$j$

$$\hat{Y}_{i,j} \sim N(\mu_j, \sigma_j^2 + \frac{\sigma_{\epsilon}^2}{10})$$

측정 오차 분산 이 모든 개인과 조건에 대해 동일하고 두 조건 대한 분산 ( )이 같으면 분산 비율 조건 1에서 40 개의 평균에 대해, 조건 2에서 40 개의 평균에 대한 분산은 분자 및 분모에 대한 자유도 39 및 39를 갖는 F- 분포에 따라 분포된다.σ j j = { 1 , 2 $\sigma_\epsilon$$\sigma_{j}$$j = \lbrace 1,2 \rbrace$

아래 그래프의 시뮬레이션에서이를 확인할 수 있습니다. 여기서 샘플을 기반으로 한 F- 점수는 모델에서 예측 된 분산 (또는 제곱 오차의 합)을 기반으로 F- 점수가 계산됨을 의미합니다.

^{이미지는 및 사용하여 10,000 반복으로 모델링됩니다 .σ ϵ = $\sigma_{j=1} = \sigma_{j=2} = 0.5$$\sigma_\epsilon=1$}

약간의 차이가 있음을 알 수 있습니다. 이 차이는 혼합 효과 선형 모델이 (임의 효과에 대한) 제곱 오차의 합계를 다른 방식으로 얻고 있다는 사실에 기인 할 수 있습니다. 그리고이 제곱 오차 항은 더 이상 단순한 카이 제곱 분포로 잘 표현되지 않지만 여전히 밀접한 관련이 있으며 근사 할 수 있습니다.

귀무 가설이 참일 때 (작은) 차이를 제외하고 귀무 가설이 참이 아닌 경우가 더 흥미 롭습니다. 특히 때의 조건 . 평균 의 분포는 해당 뿐만 아니라 측정 오류 에 의존합니다 . 혼합 효과 모델의 경우이 후자의 오류는 '필터링'되며 랜덤 효과 모델 분산에 기반한 F- 점수가 더 높은 검정력을 가질 것으로 예상됩니다.Y I , J σ J σ $\sigma_{j=1} \neq \sigma_{j=2}$$\hat{Y}_{i,j}$$\sigma_j$$\sigma_\epsilon$

^{이미지는 , 및 사용하여 10,000 반복으로 모델링됩니다 .σ j = 2 = 0.25 σ ϵ = $\sigma_{j=1} = 0.5$$\sigma_{j=2} = 0.25$$\sigma_\epsilon=1$}

따라서 평균을 기반으로 한 모델은 매우 정확합니다. 그러나 덜 강력합니다. 이것은 올바른 전략이 원하는 / 필요한 것에 달려 있음을 보여줍니다.

^{위의 예에서 오른쪽 꼬리 경계를 2.1 및 3.1로 설정하면 등분 산의 경우 인구의 약 1 %를 얻지 만 (1 만 건의 경우 103 및 104), 분산이 같지 않은 경우 이러한 경계가 다릅니다. 많은 (사건의 5334와 6716를 준다)}

암호:

set.seed(23432)

# different model with alternative parameterization (and also correlation taken out)
fml1 <- "~ condition + (0 + control + experimental || participant_id) "
fml <- "~ condition + (condition | participant_id)"

n <- 10000

theta_m <- matrix(rep(0,n*2),n)
theta_f <- matrix(rep(0,n*2),n)

# initial data frame later changed into d by adding a sixth sim_1 column
ds <- expand.grid(participant_id=1:40, trial_num=1:10)
ds <- rbind(cbind(ds, condition="control"), cbind(ds, condition="experimental"))
  #adding extra columns for control and experimental
  ds <- cbind(ds,as.numeric(ds$condition=='control'))
  ds <- cbind(ds,1-as.numeric(ds$condition=='control'))
  names(ds)[c(4,5)] <- c("control","experimental")

# defining variances for the population of individual means
stdevs <- c(0.5,0.5) # c(control,experimental)

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                    max = n, style=3)
for (i in 1:n) {

  indv_means <- c(rep(0,40)+rnorm(40,0,stdevs[1]),rep(0.5,40)+rnorm(40,0,stdevs[2]))
  fill <- indv_means[d[,1]+d[,5]*40]+rnorm(80*10,0,sqrt(1)) #using a different way to make the data because the simulate is not creating independent data in the two groups 
  #fill <- suppressMessages(simulate(formula(fml), 
  #                     newparams=list(beta=c(0, .5), 
  #                                    theta=c(.5, 0, 0), 
  #                                    sigma=1), 
  #                     family=gaussian, 
  #                     newdata=ds))
  d <- cbind(ds, fill)
  names(d)[6] <- c("sim_1")


  m <- lmer(paste("sim_1 ", fml1), data=d)
  m
  theta_m[i,] <- m@theta^2

  imeans <- aggregate(d[, 6], list(d[,c(1)],d[,c(3)]), mean)
  theta_f[i,1] <- var(imeans[c(1:40),3])
  theta_f[i,2] <- var(imeans[c(41:80),3])

  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

p1 <- hist(theta_f[,1]/theta_f[,2], breaks = seq(0,6,0.06))       
fr <- theta_m[,1]/theta_m[,2]
fr <- fr[which(fr<30)]
p2 <- hist(fr, breaks = seq(0,30,0.06))



plot(-100,-100, xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), 
     xlab="F-score", ylab = "counts [n out of 10 000]")
plot( p1, col=rgb(0,0,1,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # means based F-score
plot( p2, col=rgb(1,0,0,1/4), xlim=c(0,6), ylim=c(0,800), add=T)  # model based F-score
fr <- seq(0, 4, 0.01)
lines(fr,df(fr,39,39)*n*0.06,col=1)
legend(2, 800, c("means based F-score","mixed regression based F-score"), 
       fill=c(rgb(0,0,1,1/4),rgb(1,0,0,1/4)),box.col =NA, bg = NA)
legend(2, 760, c("F(39,39) distribution"), 
       lty=c(1),box.col = NA,bg = NA)
title(expression(paste(sigma[1]==0.5, " , ", sigma[2]==0.5, " and ", sigma[epsilon]==1)))

비교적 간단한 방법 중 하나 anova는 lme4FAQ에 설명 된대로 우도 비 검정을 사용 하는 것 입니다.

분산이 구속되지 않는 전체 모형 (예 : 두 개의 다른 분산이 허용됨)으로 시작한 다음 두 분산이 동일한 것으로 가정되는 하나의 구속 된 모형에 적합합니다. 우리는 단순히과 비교 anova()(I 설정합니다 REML = FALSE있지만 REML = TRUE으로는 anova(..., refit = FALSE)완전히 가능하다 ).

m_full <- lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full)$varcor
 # Groups         Name                  Std.Dev. Corr  
 # participant_id (Intercept)           0.48741        
 #                conditionexperimental 0.26468  -0.419
 # Residual                             1.02677     

m_red <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

anova(m_full, m_red)
# Data: d
# Models:
# m_red: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id)
# m_full: sim_1 ~ condition + (condition | participant_id)
#        Df    AIC    BIC  logLik deviance  Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# m_red   4 2396.6 2415.3 -1194.3   2388.6                         
# m_full  6 2398.7 2426.8 -1193.3   2386.7 1.9037      2      0.386

그러나이 테스트는 보수적 일 수 있습니다. 예를 들어 FAQ는 다음과 같이 말합니다.

LRT 기반 귀무 가설 검정은 귀값 (예 : σ2 = 0)이 실행 가능한 공간의 경계에있을 때 보수적입니다. 가장 간단한 경우 (단일 랜덤 효과 분산) p- 값은 원래보다 두 배나 큽니다 (Pinheiro and Bates 2000).

몇 가지 대안이 있습니다.

1. $\chi^2$
   

2. RLRsim(FAQ에 설명 된대로)를 사용하여 올바른 분포를 시뮬레이션합니다 .

다음에서 두 번째 옵션을 보여 드리겠습니다.

library("RLRsim")
## reparametrize model so we can get one parameter that we want to be zero:
afex::set_sum_contrasts() ## warning, changes contrasts globally
d <- cbind(d, difference = model.matrix(~condition, d)[,"condition1"])

m_full2 <- lmer(sim_1 ~ condition + (difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
all.equal(deviance(m_full), deviance(m_full2))  ## both full models are identical

## however, we need the full model without correlation!
m_full2b <- lmer(sim_1 ~ condition + (1| participant_id) + 
                   (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_full2b)$varcor
 # Groups           Name        Std.Dev.
 # participant_id   (Intercept) 0.44837 
 # participant_id.1 difference  0.13234 
 # Residual                     1.02677 

## model that only has random effect to be tested
m_red <- update(m_full2b,  . ~ . - (1 | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_red)$varcor
 # Groups         Name       Std.Dev.
 # participant_id difference 0.083262
 # Residual                  1.125116

## Null model 
m_null <- update(m_full2b,  . ~ . - (0 + difference | participant_id), data=d, REML = FALSE)
summary(m_null)$varcor
 # Groups         Name        Std.Dev.
 # participant_id (Intercept) 0.44734 
 # Residual                   1.03571 

exactRLRT(m_red, m_full2b, m_null)
# Using restricted likelihood evaluated at ML estimators.
# Refit with method="REML" for exact results.
# 
#   simulated finite sample distribution of RLRT.
#   
#   (p-value based on 10000 simulated values)
# 
# data:  
# RLRT = 1.9698, p-value = 0.0719

보시다시피, REML = TRUE결과는 정확한 결과를 얻었음을 나타냅니다. 그러나 이것은 독자에게 연습으로 남아 있습니다.

보너스와 관련하여 RLRsim여러 구성 요소를 동시에 테스트 할 수 있는지 확실하지 않지만 동일한 경우 동일한 방법으로 수행 할 수 있습니다.

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의견 답변 :

$\theta_X$$\theta_0$$X$

이 질문이 합리적인 답변을받을 수 있는지 잘 모르겠습니다.

• 랜덤 절편은 그룹화 요소의 각 수준에 대한 전체 수준의 특유의 차이를 허용합니다. 예를 들어, 종속 변수가 응답 시간 인 경우 일부 참가자는 더 빠르며 일부는 느립니다.
• 랜덤 슬로프는 그룹화 인자의 각 레벨이 랜덤 슬로프가 추정되는 인자의 특유한 효과를 허용합니다. 예를 들어, 요인이 일치하는 경우 일부 참가자는 다른 참가자보다 더 높은 일치 효과를 가질 수 있습니다.

랜덤 슬로프가 랜덤 인터셉트에 영향을 줍니까? 어떤 의미에서 이것은 그룹화 요소의 각 레벨이 각 조건에 대해 완전히 특유한 효과를 허용하기 때문에 의미가 있습니다. 결국, 우리는 두 가지 조건에 대한 두 가지 특유한 매개 변수를 추정합니다. 그러나 인터셉트에 의해 포착 된 전체 레벨과 랜덤 슬로프에 의해 포착 된 조건 특정 효과 간의 차이는 중요하며 랜덤 슬로프는 실제로 랜덤 인터셉트에 영향을 줄 수 없습니다. 그러나 여전히 그룹화 수준의 각 수준을 조건의 각 수준에 대해 별개로 허용합니다.

그럼에도 불구하고 내 시험은 여전히 ​​원래 질문이 원하는 것을 수행합니다. 두 조건 간의 분산 차이가 0인지 여부를 테스트합니다. 이 값이 0이면 두 조건의 분산이 같습니다. 즉, 임의의 기울기가 필요하지 않은 경우에만 두 조건의 분산이 동일합니다. 나는 그것이 의미가 있기를 바랍니다.

당신의 모델

m = lmer(sim_1 ~ condition + (condition | participant_id), data=d)

이미 제어 조건의 개체 간 분산이 실험 조건의 개체 간 분산과 다를 수 있습니다. 이는 동등한 매개 변수화를 통해보다 명확하게 할 수 있습니다.

m = lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=d)

랜덤 공분산 행렬은 이제 더 간단한 해석을 갖습니다.

Random effects:
 Groups         Name                  Variance Std.Dev. Corr
 participant_id conditioncontrol      0.2464   0.4963       
                conditionexperimental 0.2074   0.4554   0.83

여기서 두 가지 분산은 정확하게 관심있는 두 가지 분산입니다. 제어 조건에서 조건부 평균 반응의 [대상 간] 분산은 실험 조건에서 동일합니다. 시뮬레이션 된 데이터 세트에서 0.25와 0.21입니다. 차이점은 다음과 같습니다.

delta = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]

0.039와 같습니다. 0과 크게 다른지 테스트하고 싶습니다.

편집 : 아래에 설명하는 순열 테스트가 잘못되었음을 깨달았습니다. 제어 / 실험 조건의 평균이 동일하지 않은 경우 의도 한대로 작동하지 않습니다 (무효 상태에서 관측 값을 교환 할 수 없기 때문에). 주제 (또는 보너스 사례의 주제 / 항목)를 부트 스트랩하고에 대한 신뢰 구간을 얻는 것이 더 좋습니다 delta.

아래 코드를 수정하여 시도합니다.

---

원래 순열 기반 제안 (잘못된)

나는 종종 순열 테스트를 통해 많은 문제를 해결할 수 있다는 것을 알게됩니다. 실제로이 경우 설정이 매우 쉽습니다. 각 주제에 대한 통제 / 실험 조건을 따로 따로 바꾸자. 분산의 차이를 제거해야합니다. 이것을 여러 번 반복하면 차이에 대한 널 분포가 산출됩니다.

(R로 프로그래밍하지는 않습니다. 모두 더 나은 R 스타일로 다음을 다시 작성하십시오.)

set.seed(42)
nrep = 100
v = matrix(nrow=nrep, ncol=1)
for (i in 1:nrep)
{
   dp = d
   for (s in unique(d$participant_id)){             
     if (rbinom(1,1,.5)==1){
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='control',]$condition = 'experimental'
       dp[p$participant_id==s & d$condition=='experimental',]$condition = 'control'
     }
   }
  m <- lmer(sim_1 ~ 0 + condition + (0 + condition | participant_id), data=dp)
  v[i,] = as.data.frame(VarCorr(m))[1,4] - as.data.frame(VarCorr(m))[2,4]
}
pvalue = sum(abs(v) >= abs(delta)) / nrep

$p=0.7$nrep

보너스 사례에 정확히 동일한 논리를 적용 할 수 있습니다.

$$y_{ijk} = \mu + \alpha_j + d_{ij} + e_{ijk}, \quad d_{i} \sim N(0, \Sigma), \quad e_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)$$ $\alpha_j$$j$$d_i = (d_{i1}, \ldots, d_{iJ})^\top$$i$$j$
$y_{i1k}$$y_{i2k}$$A$$B$$d_{i}$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}$$

$\sigma^2_A$$\sigma^2_{B}$

$\Sigma$

큰 평균에 해당하는 절편의 분산은 다음과 같습니다.

$$\sigma^2_{1} := \text{Var(grand mean)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A+B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

대비의 분산은

$$\sigma^2_{2} := \text{Var(contrast)} = \text{Var}(\frac{1}{2} \cdot (A-B)) = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) + \text{Var}(B) - 2 \cdot \text{Cov}(A,B)).$$

절편과 대비 사이의 공분산은

$$\sigma_{12} := \text{Cov}(\text{grand mean, contrast}) = \text{Cov}(\frac{1}{2} \cdot (A+B), \frac{1}{2} \cdot (A-B)) \\ = \frac{1}{4} \cdot (\text{Var}(A) - \text{Var}(B)).$$

$\Sigma$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} & \sigma^2_1 - \sigma^2_2\\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 - 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_A & \sigma_{AB}\\ \sigma_{AB} & \sigma^2_{B} \end{bmatrix}.$$

$\Sigma$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}\sigma_{12} & 0\\ 0 & -\sigma_{12}\end{bmatrix}.$$

$\sigma_{12}$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & -\sigma^2_2\\ -\sigma^2_2 & \sigma^2_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1 - \sigma^2_2 \\ \sigma^2_1 - \sigma^2_2 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

이는 @Jake 웨스트 폴은 약간 다르게 유래, 등분 가설 테스트 우리 공분산 파라미터가 여전히 제로로 설정하지 / 포함 모델이없이 공분산 파라미터 모델을 비교할 때.

특히, 수행 할 수있는 모델 비교를 변경하지 않습니다 (예 : 자극으로) 다른 교차 임의 그룹화 요소를 도입 즉, anova(mod1, mod2)(선택적 인수를 refit = FALSE사용할 때 REML 추정) 곳 mod1과 mod2@Jake 서부 몰락 지대가 그랬던 것처럼 정의된다.

$\sigma_{12}$$\sigma^2_2$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix}$$

이는 두 가지 조건이 동일의 편차를가한다는 가설 테스트 및 그들이 두 상태 사이 (양극) 공분산 동일한 것으로한다.

---

두 가지 조건이있을 때 (양의) 복합 대칭 구조 에서 두 개의 모수를 갖는 공분산 행렬에 맞는 모형은 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

# new model
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

또는 (범주 형 변수 / 인수 사용 condition)

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

와

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 + \sigma^2_2 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\sigma^2_2 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix}$$

$\sigma^2_1$$\sigma^2_2$$\Sigma$

아래 mod1에서 mod3, 및 mod4항복에 해당 하는 것을 볼 수 있습니다 .

# code snippet from Jake Westfall
d$contrast <- 2*(d$condition == 'experimental') - 1

mod1 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast || participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

mod2 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (contrast | participant_id),
             data = d, REML = FALSE)

# new models 
mod3 <- lmer(sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE) 

mod4 <- lmer(sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id), 
             data = d, REML = FALSE)

anova(mod3, mod1)
# Data: d
# Models:
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
# mod1: sim_1 ~ contrast + ((1 | participant_id) + (0 + contrast | participant_id))
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod1  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

anova(mod4, mod3)
# Data: d
# Models:
# mod4: sim_1 ~ condition + (1 | participant_id) + (1 | condition:participant_id)
# mod3: sim_1 ~ contrast + (1 | participant_id) + (1 | contrast:participant_id)
#      Df    AIC    BIC  logLik deviance Chisq Chi Df Pr(>Chisq)
# mod4  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9                        
# mod3  5 2396.9 2420.3 -1193.5   2386.9     0      0          1

---

$\Sigma$

$$\Sigma = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1 + \sigma_{12}\\ \sigma^2_1 + \sigma_{12} & \sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sigma^2_1 & \sigma^2_1\\ \sigma^2_1 & \sigma^2_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & \sigma^2_2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0 & \sigma_{12}\\ \sigma_{12} & 2\sigma_{12}\end{bmatrix}$$

$\sigma^2_1$$A$$\sigma^2_2$$A - B$$\sigma_{12}$

$\sigma_{12}$$\sigma^2_2$

mod4$\Sigma$