표본의 산술 평균이 동일한 분포를 따르는 Cauchy 이외의 분포가 있습니까?

가 Cauchy 분포를 따르는 경우 도 와 정확히 동일한 분포를 따릅니다 . 이 스레드를 참조하십시오 . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

이 숙박 시설에 이름이 있습니까?
이것이 사실 인 다른 배포판이 있습니까?

편집하다

이 질문을하는 또 다른 방법 :

를 확률 밀도 갖는 랜덤 변수 라고하자 . $X$ $f(x)$

하자 , 의 i 번째 관측이고 . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ 자체는 특정 값을 조정하지 않고 임의의 변수로 간주 될 수 있습니다 . $X$

가 Cauchy 분포를 따르는 경우 의 확률 밀도 함수 는 $X$ $Y$ $f(x)$

대 (비 사소한 *) 확률 밀도 함수의 임의의 다른 종류 있는가 에서 그 결과 의 확률 밀도 함수를 갖는 ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* 내가 생각할 수있는 유일한 예는 Dirac 델타입니다. 즉, 임의의 변수가 아닙니다.

— 체키 레 바스
소스

"샘플의 예상 값"이 숫자 이므로 제목이 의미가 없습니다 . 대신 샘플 의 산술 평균 을 의미 합니까? 문제는 모호 "유통"에 의해 특정 분포를 뜻하거나 의미합니까 - A - 같은 용어는 "코시"에서 제안 가족 배포판? 그것은 사소한 미묘한 것이 아닙니다. 당신의 의미에 따라 대답이 완전히 바뀝니다. 명확하게하려면 게시물을 수정하십시오.

— whuber

@ whuber, 나는 가능한 해석의 범위를 희망적으로 강화시키는 질문에 두 번째 부분을 추가했습니다.

— Chechy Levas

감사합니다; 그것은 대부분을 정리합니다. 그러나 을 수정 했는지 여부 또는이 결과를 모든 대해 유지 하려는지 여부에 따라 다른 답변 이 있습니다 후자 인 경우 cf 또는 cgf의 조건이 심각하여 준비된 솔루션으로 이어집니다. 전자의 경우 추가 솔루션이있을 수 있습니다.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

나는 모든 을 생각하고 있었지만 누군가가 고정 에 대한 분석을 제공하고 싶다면 환영받을 것입니다.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

이것은 실제로 답은 아니지만 최소한 안정적인 분포에서 그러한 예를 만드는 것은 쉽지 않은 것 같습니다. 특성 함수가 평균과 동일한 rv를 생성해야합니다.

일반적으로 iid 추첨 의 경우 평균 의 CF 는

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ 에서 단일 rv의 cf 인 와 함께 위치 매개 변수가 0 인 안정적인 분포의 경우 여기서 Cauchy 분포는 해당합니다. , 이므로 스케일 파라미터 대해 입니다.

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

일반적으로 얻을 , 것 같습니다. 이지만

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— 크리스토프 행크
소스

따라서 분석에 따르면 Cauchy가 a = 1에 대한 유일한 솔루션이라고 말할 수 있습니까?

— Chechy Levas

그것은이 결과로부터 얻은 인상이지만, 여기에는 안정적인 분포를 가진 사람들이 더 많이 있다는 것을 확신합니다.

— Christoph Hanck

안정적인 분포 이론을 불러 낼 필요는 없습니다. 시키는 CGF에서있을 등식이다 에 대한이후 원점에서도 연속 함수와 제로, 이것이 바로의 세균 것을 의미한다 원점입니다

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

이것이 정답이어야합니까? 외에도이 문제를 해결할 수있는 유일한 방법은 이며 Dirac 델타입니다.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Chechy Levas