베이지안 해석은 사후 분포와 관련된 추정자에 대한 베이지안 분석의 틀 안에서만 존재합니다. 따라서 REML 추정값에 베이지안 해석을 제공 할 수있는 유일한 방법은 (즉, 후방에서 추정 된 추정값으로 해석) REML 분석에서 제한된 로그 우도를 해당 로그의 로그 포지셔닝으로 간주하는 것입니다. 베이 분석; 이 경우 REML 추정기는 해당 베이지안 해석과 함께 베이지안 이론 의 MAP 추정기 입니다.
REML 추정값을 MAP 추정기로 설정 : REML 분석에서 제한된 로그 우도를 Bayes 분석에서 로그 포워드로 설정하는 방법을 보는 것은 비교적 간단합니다. 이를 위해서는 로그 우선 순위가 REML 프로세스에 의해 제거 된 로그 우도 부분의 음수 여야합니다. 로그 우도가 경우 는 잔차 로그 우도이고 는 관심있는 매개 변수입니다 ( 는 방해 매개 변수입니다). 상기 사전 설정 대응 후방을 준다 :ℓx(θ,ν)=ℓ∗(θ,ν)+ℓRE(θ)ℓRE(θ)θνπ(θ,ν)∝exp(−ℓ∗(θ,ν))
π(θ|x)∝∫Lx(θ,ν)π(θ,ν)dν∝∫exp(ℓx(θ,ν))exp(−ℓ∗(θ,ν))dν=∫exp(ℓx(θ,ν)−ℓ∗(θ,ν))dν=∫exp(ℓ∗(θ,ν)+ℓRE(θ)−ℓ∗(θ,ν))dν=∫exp(ℓRE(θ))dν=∫LRE(θ)dν∝LRE(θ).
이것은 우리에게 :
θ^MAP=argmaxθπ(θ|x)=argmaxθLRE(θ)=θ^REML.
이 결과를 통해 REML 추정기를 MAP 추정기로 해석 할 수 있으므로 REML 추정기에 대한 베이지안의 올바른 해석은 위의 이전에서 사후 밀도를 최대화하는 추정기입니다 .
REML 추정기에 베이지안 해석을 제공하는 방법을 설명 했으므로 이제이 접근 방식에 큰 문제 가 있음을 알 수 있습니다 . 한 가지 문제는 이전이 데이터에 의존 하는 로그 가능성 구성 요소 사용하여 형성된다는 것 입니다. 따라서, 이러한 해석을 얻기 위해 필요한 "선점"은 데이터를보기 전에 형성 될 수있는 기능이라는 점에서 실제적인 것은 아니다. 또 다른 문제는 이전의 문제가 종종 부적절하고 (즉, 하나에 통합되지 않음), 매개 변수 값이 극단적이되면 실제로 무게가 증가 할 수 있다는 것입니다. (아래에 예를 보여 드리겠습니다.)ℓ∗(θ,ν)
이러한 문제를 바탕으로 REML 추정기에 대한 적절한 베이지안 해석 이 없다고 주장 할 수 있습니다. 대안 적으로, REML 추정기는 여전히 위의 베이지안 해석을 유지하며 , 지정된 형태로 관측 된 데이터와 일치해야하며 "우선"하의 최대 사후 추정기이며, 매우 부적절 할 수있다.
정규 데이터가있는 그림 : REML 추정의 전형적인 예 는 정밀도 관심이있는 정규 데이터 경우입니다. 평균 는 방해 매개 변수입니다. 이 경우 로그 우도 함수가 있습니다.x1,...,xn∼N(ν,1/θ)θν
ℓx(ν,θ)=−n2lnθ−θ2∑i=1n(xi−ν)2.
REML에서는이 로그 가능성을 두 가지 구성 요소로 나눕니다.
ℓ∗(ν,θ)ℓRE(θ)=−n2lnθ−θ2∑i=1n(xi−ν)2=−n−12lnθ−θ2∑i=1n(xi−x¯)2.
잔차 가능성을 최대화하여 정밀도 모수에 대한 REML 추정값을 얻습니다.
1θ^REML=1n−1∑i=1n(xi−x¯)2.
이 경우 REML 추정기는 "선점"밀도에 대한 MAP 추정기에 해당합니다.
π(θ)∝θn/2exp(θ2∑i=1n(xi−ν)2).
보다시피,이 "선점"은 실제로 관측 된 데이터 값에 따라 달라 지므로 실제로 데이터를보기 전에는이를 구성 할 수 없습니다. 더욱이, 우리는 와 의 극단적 인 값에 점점 더 많은 가중치를 부여하는 것이 분명히 "부적절한"것임을 알 수 있습니다 . (실제로,이 사전은 꽤 본질입니다.) 만약 "우연성"에 의해 당신이이 결과와 일치하는 사전을 형성한다면, REML 추정기는 그 이전에 MAP 추정자가 될 것이고, 따라서 베이지안 해석은 그 이전의 사후를 최대화하는 추정기.θν