감마 분포 X에 대한 Y의 밀도 = log (X)

임의의 변수 가 있고 정의 합니다. 의 확률 밀도 함수를 찾고 싶습니다 . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

원래 누적 분포 함수 X를 정의하고 변수를 변경하고 적분의 "내부"를 밀도로 생각한다고 생각했습니다.

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

여기서 및 , 와 관련 하여 및 에 대한 sub 정의를 사용 합니다. $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

불행히도 결과는 1에 통합되지 않습니다. 실수가 어디에 있는지 잘 모르겠습니다. 내 오류가 어디에 있는지 말해 줄 수 있습니까?

pdf gamma-distribution

— Duckworthd
소스

cdf를 통해 작업하는 경우 정수를 첫 번째 정수에서 두 번째 정수로 변경해서는 안됩니다. 실수는 cdf와 Jacobian 접근법을 동시에 사용하려고합니다.

— 시안

명확한 그림을 위해 표시기로 밀도를 쓰십시오.

만약 다음 $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

만약 , 역으로 다음 CDF는 정의에서 얻습니다. $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— 선
소스

이것은 좋은 대답이지만 원래 질문과 같은 방식으로 감마 분포를 매개 변수화해야 할 수도 있습니다.

— 0 분 22 초에 정상으로 가정

좋은 지적이야 끝난.

— Zen

저의 정의에는 버그가있었습니다. 이어야합니다 .

α = k

$\alpha = k$

— duckworthd